Функции

[Zarrie]

Дадени са функциите [tex]f(x) = x^2+ax+b[/tex] и [tex]g(x)=x^2-ax+c[/tex], където реалните числа [tex]a,b,c[/tex] удовлетворяват неравенството [tex]2a^2(b+c) +(b-c)^2<0[/tex] .Докажете, че всяко от уравненията [tex]f(x)=0,g(x)=0[/tex] има реални и различни корени.
Моля за малко помощ по следната задача.
Благодаря!

[monika_at]

От условието на задачата е ясно, че [tex]a\ne0[/tex].
Нека определим пресечната точка на [tex]f(x)[/tex]и [tex]g(x)[/tex]=>[tex]x=\frac{c-b}{2a}[/tex]

Замести тази точка в първата функция. Какъв израз ще получиш за нея, след преработката му?

[Zarrie]

[tex]f(\frac{c-b}{2a}) =(\frac{c-b}{2a})^{2} + a.\frac{c-b}{2a} + b[/tex]
[tex]\frac{1}{4a^2}[(c-b)^2 +2a^2(c-b)+b][/tex]
Сведох го до този израз, защото и тук фигурира [tex](c-b)^2[/tex]

[ptj]

Получаваш [tex]\frac{(c-b)^2}{4a^2}+\frac{c+b}{2}[/tex], което според условието е по-малко от нула.
От факта че и двете уравнения имат поне по една отрицателна стойност, а коефицента пред [tex]x^2[/tex] и в двете е положителен, следва че съответните им дискриминанти са неотрицателни и имат по два различни корена.

[monika_at]

Получаваш [tex]\frac{(c-b)^2}{4a^2}+\frac{c+b}{2}[/tex], което според условието е по-малко от нула.
От факта че и двете уравнения имат поне по една отрицателна стойност, а коефицента пред [tex]x^2[/tex] и в двете е положителен, следва че съответните им дискриминанти са неотрицателни и имат по два различни корена.

Точно това исках да помисли Зари

[Zarrie]

От факта че и двете уравнения имат поне по една отрицателна стойност

Ето тази част не я разбирам... Откъде "идва" този факт?

[ptj]

[tex]2a^2(b+c) +(b-c)^2<0[/tex] делиш на [tex]4а^2\ne0[/tex]

[tex]\frac{c+b}{2}+\frac{(c-b)^2}{4a^2}<0[/tex]

[ptj]

Ако ти е трудно да разбереш написаното , начертай си графики.

[Zarrie]

Да, разбрах Тоест единият им общ корен се явява точка, за която функцията приема отр. стойност, ако f(x) < 0 то имаме пресечна точка с абсцисата, т.е. корени. Нали така ?

[ptj]

Пак бързаш и не мислиш какво пишеш.

Изобщо не е задължително да имат общ корен. Пресечената им точка е под абцисата, а след като и двете графики са параболи с върхове насочени надолу, и са непрекъснати, то очевидно всяка ще пресече абцисата точно в две точки.

[Zarrie]

Извинявам се... паралелно уча и по друг предмет за контролно, което е утре и наистина не мисля! Имах предвид пресечна точка!

[inveidar]

Имат предвид функциите, а не уравненията и затова не ги разбра от първия път.

[ptj]

Доказателството е нестандартно, но повечето от нас го виждат веднага благодарение на големия си опит.
За един ученик свикнал само с обичайните "минумум и максим на функция" то е наистина трудно.

[Zarrie]

Така е, ptj! Благодаря на всички за помощта.