Помощ за параметрично уравнение?

[Vorp]

Здравейте,
От известно време се мъча с една задача, но уви, без успех.

Задачата е следната :

"Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които уравнението :[tex]4^{x+\frac{1}{x}}[/tex]- a*[tex]2^{x+\frac{1}{x}}[/tex]+a - 1 = 0, има реален отрицателен корен.

Ще съм много благодарен, ако някой може да ми обясни/покаже как се решава.

[monika_at]

Да положим [tex]2^{x+\frac{1}{x}}=t[/tex]


[tex]t^2-at+a-1=0=>t_1=1; t_2=a-1[/tex]

Искаме наличие на отрицателен корен. От неравенството на Коши=>[tex]x+\frac{1}{x}\le-2, x<0[/tex] и [tex]x+\frac{1}{x}\ge2, x>0[/tex]=>

[tex]2^{x+\frac{1}{x}}\le2^{-2}=>t\le\frac{1}{4}=[/tex]=>трябва да е изпълнена системата:

[tex]a-1>0; a-1\le\frac{1}{4}=>a\in(1; \frac{5}{4}][/tex]

[inveidar]

Да положим [tex]2^{x+\frac{1}{x}}=t[/tex]


[tex]t^2-at+a-1=0=>t_1=1; t_2=a-1[/tex]

Искаме наличие на отрицателен корен. От неравенството на Коши=>[tex]x+\frac{1}{x}\le-2, x<0[/tex] и [tex]x+\frac{1}{x}\ge2, x>0[/tex]=>

[tex]2^{x+\frac{1}{x}}\le2^{-2}=>t\le\frac{1}{4}=[/tex]=>трябва да е изпълнена системата:

[tex]a-1>0; a-1\le\frac{1}{4}=>a\in(1; \frac{5}{4}][/tex]

Първото неравенство [tex]x+\frac{1}{x}\le-2, x<0[/tex] не следва от неравенството на Коши!
А защо трябва да е изпълнена системата?! Казва ли ти някой?! Може би тогава поне един от корените на уравнението с t-то ще е по-малък или равен на една четвърт? Ама смееш ли да питаш?!
Че единият корен е 1 и е по-голям от една четвърт е ясно. Тогава другият, който е а-1 трябва да е по-малък или равен на една четвърт. И това е добре. Но защо а-1 трябва да е положително? Аааа, сигурно защото t-то е положително, нали? Нищо, че никъде не го пише в решението. Сещайте се деца! Това е упътване.

[monika_at]

Честит 3 март! Емо, споко, от възрастта е