Окръжност в триъгълник

[Vorp]

Здравейте,
От известно време се мъча с една задача...

Задачата е следната :
В равнобедрения триъгълник ABC(AC = BC) точката О е център на вписаната окръжност и ОА = 3[tex]\sqrt{5}[/tex], ОС = 5. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

Направих връзка между радиуса и АH (AH ми е половината от страната а), направих и между радиуса и бедрото и накрая между радиуса,бедрото и АН, но като тръгна да решавам системата стигам до у-ние от 3та степен, което се опитах да реша по схемата на Хорнер, но не успях да получа корени... Много ще съм благодарен, ако някой отдели малко време да даде някаква идея. Благодаря

[monika_at]

След малко ще ти напиша решение с чертеж

[Vorp]

Много благодаря

[monika_at]

vorp.png (16 KiB) Прегледано 271 пъти

Следвай означенията на чертежа. Прилагаме синусова теорема за [tex]\Delta AOC=>\frac{3\sqrt{5}}{sin(90^\circ-2x)}=\frac{5}{sinx}=>5cos2x=3\sqrt{5}=>5(1-2sin^2x)=3\sqrt{5}[/tex]

Полагаме [tex]sinx=t\in(0;1)=>10t^2+3\sqrt{5}t-5=0=>t=sinx=\frac{\sqrt{5}}{5}=>cosx=\frac{2\sqrt{5}}{5}=>sin2x=2sinxcosx=\frac{4}{5}[/tex]
[tex]\Delta APO: sinx=\frac{PO}{AO}=>PO=r=3[/tex]

Прилагаме кос. т-ма за [tex]\Delta AOC; AO^2=AC^2+OC^2-2AC.OC.cos(90^\circ-2x)=>b^2-8b-20=0 (AC=b)=> b=10[/tex]

[tex]\Delta AHC: AH^2=AC^2-CH^2=36=>AH=6=>AB=12[/tex]