Задачи от примерна тема СУ

[dimo72]

1. Дадена е редицата [tex]2;3;6;11;a_5;a_6;...;a_n[/tex] , за която разликата между съседните членове са последователни членове на аритметична прогресия. Да се намери общия член на редицата.
2. Нека [tex]x_1<x_2[/tex]са коренитe на квадратното уравнение [tex]x^2-px+q=0[/tex] . Да се намерят стойностите на [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] при условие, че числата [tex]x_1;x_2;p+3;q+3[/tex] в този ред образуват аритметична прогресия.
За втората задача е ясно, че [tex]p=9; q=14[/tex]. Но е посочена още една двойка решения [tex]p=-\frac{3}{2}; q=0[/tex] от къде идва?

[monika_at]

Нека аритметичната прогресия означим с [tex]b_1, b_2, ..., b_{n-1}[/tex].
Тогава: [tex]a_2=a_1+b_1; a_3=a_2+b_2; ...; a_n=a_{n-1}+b_{n-1}[/tex]

Събираме почленно тези равенства=>[tex]a_n=a_1+b_1+...+b_{n-1}[/tex]. Означаваме [tex]S_{n-1}=b_1+...+b_{n-1}[/tex]=>

[tex]S_{n-1}=\frac{2b_1+(n-2)d}{2}.(n-1)=(n-1)^2[/tex]=>

[tex]a_n=2+n^2-2n+1=n^2-2n+3[/tex]

[monika_at]

Димо, относно 2зад ми се иска да напишеш решението си, защото наистина се получават две двойки решения. И ми се ще да знам, къде бъркаш.

[dimo72]

Нека [tex]a_1=x_1; a_2=x_2;a_3=x_1+x_2+3;a_4=x_1x_2+3[/tex] като съм заместил [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] от Виет.
Сега [tex]d=a_2-a_1=a_4-a_3[/tex] от тук намираме [tex]x_1=2[/tex]. От [tex]a_3-a_2=d=5 \Rightarrow x_2=7[/tex] И от Виет [tex]x_1+x_2=p=9; x_1x_2=q=14[/tex] От къде идва грешката ми?

[monika_at]

Нека [tex]a_1=x_1; a_2=x_2;a_3=x_1+x_2+3;a_4=x_1x_2+3[/tex] като съм заместил [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] от Виет.
Сега [tex]d=a_2-a_1=a_4-a_3[/tex] от тук намираме [tex]x_1=2[/tex]. От [tex]a_3-a_2=d=5 \Rightarrow x_2=7[/tex] И от Виет [tex]x_1+x_2=p=9; x_1x_2=q=14[/tex] От къде идва грешката ми?

Май си разделил неправомерно и си загубил решение
Ти получаваш: [tex]2x_2=x_1x_2=>2x_2-x_1x_2=0=>x_2(2-x_1)=0=>x_2=0\cup x_1=2[/tex]