Пирамида

[dimo72]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида [tex]MABCD[/tex] с връх [tex]M[/tex]. Равнината, минаваща през диагонала [tex]BD[/tex], перпендикулярна на [tex]MC[/tex], сключва ъгъл [tex]\varphi[/tex] с равнината на основата [tex]ABCD[/tex]. Да се намери синусът на ъгъла, който сключва ръбът [tex]MB[/tex] с равнината [tex]MAD[/tex].

[Entropypoe]

Отговора (ако има даден такъв) [tex]\frac{\sqrt{33}}{6}[/tex] ли е?

[dimo72]

Не, не е това отговорът, но можете да напишете как разсъждавате, съответно ще може някой да Ви поправи

[monika_at]

Димо, нахвърлях я набързо. Случайно да е [tex]\frac{4cos\varphi}{\sqrt{2+cotg^2\varphi}}[/tex]?

[dimo72]

Димо, нахвърлях я набързо. Случайно да е [tex]\frac{4cos\varphi}{\sqrt{2+cotg^2\varphi}}[/tex]?

Като отговор е посочен: [tex]\frac{sin2\varphi}{\sqrt{1+cos^2\varphi}}[/tex]

[monika_at]

Едно и също е

[dimo72]

Хм, опитах се да преобразувам отговорът, който сте написали до горепосочения и стигнах до тук:
[tex]\frac{sin2\varphi}{\sqrt{\frac{2-cos^2\varphi}{4}}}[/tex] Явно бъркам някъде в сметките.

[kmitov]

И аз стигнах до същото. [tex]\frac{4 cos \varphi}{\sqrt{2+ cotg^2\varphi}}=\frac{4 cos \varphi}{\sqrt{2+ \frac{cos^2\varphi}{sin^2\varphi}}}=\frac{4 cos \varphi sin \varphi}{\sqrt{2 sin^2\varphi+ cos^2\varphi}}=\frac{2sin 2\varphi}{\sqrt{1+\sin^2 \varphi}}[/tex]

[monika_at]

dimo72.png (38.69 KiB) Прегледано 279 пъти

Следвай означенията на чертежа.За да намерим синуса на търсения ъгъл, построяваме перпендикуляр от т.В към равнината [tex](ADM)[/tex].
Знаем, че ъгъл между права и равнина е ъгълът между правата и нейната ортогонална проекция.
Това е [tex]\angle HMB=x=>sinx=\frac{BH}{BM}[/tex]
[tex]BH[/tex]е разстоянието от т.В до [tex](ADM)[/tex]. [tex]BC||(ADM)[/tex]=>разстоянията от произволна точка от ВС до равнината сa равни. Ще намерим [tex]KL=p=>p=BH[/tex]

[tex]\angle POC=\angle OMC=\varphi[/tex]; [tex]\Delta MOC:cotg \varphi=\frac{MO}{OC}=\frac{2h}{a\sqrt{2}}=>\frac{2h}{a}=\sqrt{2}cotg \varphi[/tex]

[tex]\Delta MOT: tg \beta=\frac{2h}{a}=\sqrt{2}cotg \varphi[/tex]. (От тук намираме синуса на фи).

[tex]\Delta TLK: p=asin\beta=a\frac{\sqrt{2}cotg\varphi}{\sqrt{1+2cotg^2\varphi}}[/tex]

[tex]\Delta MOC: sin\varphi=\frac{a\sqrt{2}}{2l}=>l=\frac{a\sqrt{2}}{2sin\varphi}[/tex]

[tex]sinx=\frac{p}{l}=\frac{4cos\varphi}{\sqrt{1+2cotg^2\varphi}}[/tex]

[monika_at]

Понеже ме запитаха, как от тангенс може да се намери синус. Става или чрез система (основна задача), а може и по-леко.

tgx=[tex]\frac{sinx}{cosx}=\pm\frac{a}{b}=>sinx=\pm\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; cosx=\pm\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

[ptj]

Гане, може и да не откриваш топлата вода, защото си има основни тригонометрични тъждества:

[tex]1+cotg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}[/tex]

[tex]1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}[/tex]

[monika_at]

ptj, въобще не откривам топлата вода, а и тези тъждества ги знам много добре.
Понеже Димо ме попита за някои неща, му отговорих. В училище се учи как по даден тангенс да се открива синус ( 9 клас) със система, му дадох решение без система. Понякога наистина от постове на колеги се уморявам безкрайно много:). ptj, наистина те уважавам, но понякога ме побъркваш