Задача с триъгълна пирамида

[Maria_Ch]

Може ли да ми помогнете с тази задача :В триъгълна пирамида ABCD ръбовете AD, BD иCD са два по два взаимно перпендикулярни и имат дължини съответно 1, 3 и 4. Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера. Благодаря

[ptj]

Ако имаш право да ползваш формула на Крел, може да решиш задачата чисто алгебрично (без чертеж).

Друг бърз вариант е с координати :

Центъра лежи на симетралните равнини на 3-те ръба [tex]AD,BD,CD[/tex]. Затова ако поставим върха [tex]D[/tex] в координатното начало [tex](0;0;0)[/tex], а споменатите ръбове в положителната посока по 3-те координатни оси, то центъра на сферата ще има координати [tex](\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{4}{2})[/tex]. Тогава разстоянието от него до координатното начало (върха [tex]D[/tex]) ще е:
[tex]R^2=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{4}{2}\bigg)^2[/tex].

[Maria_Ch]

Може ли да ми обясните как стигнахте до това уравнение?

[ptj]

Съжалявам, че нямам софтуер за чертежи, но задачата е наистина лесна.

П.П. Ако не ви е ясно как се намира разстоянието от точка с координати [tex](x;y;z)[/tex] до [tex](0;0;0)[/tex] -
то е същото като намирането на дължината на диагонала в правоъгълен паралелипипед със страни [tex]x,y,z[/tex]
(2 Питагорови теореми).

[Maria_Ch]

Винаги ли центърът на описаната около пирамида сфера е пресечната точка на симетралните равинини на околните ръбове?

[ptj]

Естествено, защото симетралните равнини са множество от точки - равно отдалечени от краищата на отсечката.

[monika_at]

Ако имаш право да ползваш формула на Крел, може да решиш задачата чисто алгебрично (без чертеж).

Друг бърз вариант е с координати :

Центъра лежи на симетралните равнини на 3-те ръба [tex]AD,BD,CD[/tex]. Затова ако поставим върха [tex]D[/tex] в координатното начало [tex](0;0;0)[/tex], а споменатите ръбове в положителната посока по 3-те координатни оси, то центъра на сферата ще има координати [tex](\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{4}{2})[/tex]. Тогава разстоянието от него до координатното начало (върха [tex]D[/tex]) ще е:
[tex]R^2=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{4}{2}\bigg)^2[/tex].

ptj, влизал ли си някога с дневник под мишница? Знаеш ли, какво се изучава до 12 клас? Крел. координати....Идеята е не да покажем колко сме добри, да сме в помощ.

[Maria_Ch]

Аз съм дванадесети клас в ЕГ и не сме учили такива неща Има ли друг начин, който е известен на учениците?

[monika_at]

Да. В момент съм много уморена. Ако не тази вечер, утре ще ти напиша решение. Описана сфера, около пирамида с перпендикулярен околен ръб е основно положение.

[ptj]

Винаги съм харесвал решения на 2 реда. Препоръчително да научите учениците си да мислят, а не да решават "тoто -тестове".

Един добър ученик, само от факта че центъра на описната сфера лежи на симетралните равнини на ребрата и правите ъгли при върха D веднага би намерил радиуса и прилагайки само 2 Питагорови теореми.

[monika_at]

Винаги съм харесвал решения на 2 реда. Препоръчително да научите учениците си да мислят, а не да решават "тoто -тестове".

Извинявай, но винаги съм се стремяла, да уча децата на мислене. Факт е, че ученици в ЗП, дори и в ПП не знаят АГ.

[ptj]

Координатите са просто способ, с който да покажете на учениците как чрез взаимно перпендикулярни равнини могат да се намират разстояния.

[monika_at]

Координатите са просто способ, с който да покажете на учениците как чрез взаимно перпендикулярни равнини могат да се намират разстояния.

Що не вземеш да изнесеш една лекция с чертеж?

[ptj]

Не съм се научил да чертая със софтуер.

[monika_at]

Всяка триъгълна пирамида с взаимно перпендикулярни ръбове, например преа т.А може да се дострои до правоъгълен паралелепипед с дължини: 3; 1; 4.Тогава главният диагонал ще е диаметър на тази сфера и освен това:

диагоналът=[tex]\sqrt{3^2+1^2+4^2}=\sqrt{26}=>R=\frac{\sqrt{26}}{2}[/tex]

[Maria_Ch]

Благодаря и на двама Ви за предложените решения

[Knowledge Greedy]

Има цели випуски, които не са и чували за формулата на Крел.(За колегите дори не говоря Аз самият се запознах с нея през 2003 година благодарение на Емо Карлов и Св. Савчев . Екзотично!