Геометрична задача - АВС с ортоцентър Н окръжността, описана

[Maria_Ch]

Може ли помощ и за тази задача: В остроъгълния триъгълник АВС с ортоцентър Н окръжността, описана около АВН минава през средите на страните АС и ВС и има радиус с дължина 2. Да се намерят дължините на страните на АВС. Благодаря

[monika_at]

mmm.png (36.68 KiB) Прегледано 256 пъти

Следвай означенията на чертежа. От свойството на секущи=>[tex]CM.CA=CN.CB=>\frac{b^2}{2}=\frac{a^2}{2}=>a=b=>\Delta ABC[/tex]-равнобедрен. Означаваме [tex]\angle BAC=\alpha=>\angle ACB=180^\circ-2\alpha =>\angle AHB=2\alpha[/tex]
[tex]\angle AMB=\angle AHB=2\alpha[/tex]-вписани и отсичат една и съща дъга.
[tex]\Delta AC_1C: cos\alpha=\frac{c}{2b}=>c=2bcos\alpha[/tex] (1)

[tex]sin.th. \Delta AHB=>c=4sin2\alpha[/tex] (2); [tex]sin.th. \Delta AMB=>\frac{b}{2}=4sin3\alpha=>b=8sin3\alpha[/tex] (3).

Заместваме (2) и (3) в (1)=>[tex]4sin2\alpha=16sin3 \alpha cos\alpha=>8sin \alpha cos \alpha=16sin3 \alpha cos \alpha[/tex] Разделяме двете страни на [tex]8 cos\alpha[/tex]=>
[tex]sin\alpha=2sin3\alpha=>sin\alpha=2(3sin\alpha-4sin^3\alpha)=>1=2(3-4sin^2\alpha)=>sin^2\alpha=\frac{5}{8}=>sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=>cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}[/tex]=>

[tex]sin2\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}=>c=\sqrt{15}; a=b=\sqrt{10}[/tex]

[Maria_Ch]

Благодаря за помощта