Задача с числова редица

[Maria_Ch]

Намерете сумата от първите n члена на редицата
1, 11, 111, 1111,... , 11...1, ... Благодаря
n

[ptj]

[tex]a_{n+1}=10.a_{n}+1[/tex]

[tex]a_{n}=10.a_{n-1}+1[/tex]

[tex]a_{n-1}=10.a_{n-2}+1[/tex]

...

[tex]a_2=10.a_1+1[/tex]

Сумираме левите и десните страни на горните [tex]n[/tex] равенства:

[tex]а_{n+1}+S_{n}-a_1=10.S_n+n[/tex]

[tex]9.S_n=a_{n+1}-n-a_1[/tex]

[tex]a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} 10^k=\frac{10^{n+1}-1}{9}[/tex] (сума на геометрична прогресия)

[tex]a_1=1[/tex]

Обединяваме последните 3 реда:

[tex]9.S_n=\frac{10^{n+2}-1}{9}-n-1=\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}[/tex]

[tex]S_n=\frac{10^{n+2}-1}{9}-n-1=\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}[/tex]

[pal702004]

[tex]\sum\limits_{k=1}^n \frac{10^k-1}{9}=\frac 1 9\left(-n+\sum\limits_{k=1}^n 10^k\right)= \frac{10(10^n-1)-9n}{81}[/tex]