НГС - НМС

[dimo72]

Да се намери разликата между най-голямата и най-малката стойност на функцията [tex]4^\sqrt{x(6-x)}-a.2^{\sqrt{x(6-x)}+1}[/tex]. За коя стойност на параметъра [tex]a[/tex] тази разлика е най-малка?

[inveidar]

Хубави задачки пускаш. Ти ли искаш помощ или ги пускаш за упражнение на другите?

[dimo72]

Хубави задачки пускаш. Ти ли искаш помощ или ги пускаш за упражнение на другите?

И двете. На мен ми трябва помощ за решението и се надявам, че ще е полезно и на други

[math10.com]

[tex]DM ;x(6-x)\ge 0 \Rightarrow x\in [0;6][/tex]
[tex]x(6-x) =-x^2+6x=-x^2+6x-9+9 = 9-(x-3)^2 \le 9[/tex]
[tex]t=2^{\sqrt{x(6-x)}} t\in[1;8] ; \Rightarrow f(t)=t^2-2at[/tex]

[tex]f(1)=1-2a ; f(8)=16(4-a) ; f(a)=-a^2[/tex]
[tex](a-8)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2-16a+64 \ge 0 \Rightarrow -16a+64 \ge -a^2 \Rightarrow f(8) \ge f(a)[/tex]
[tex](a-1)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2-2a+1 \ge 0 \Rightarrow 1-2a \ge -a^2 \Rightarrow f(1) \ge f(a)[/tex]
[tex]\Rightarrow f_{min}=f(a)=-a^2[/tex]

1.сл Нека [tex]f(8)\ge f(1) \Rightarrow 64-16a\ge 1-2a \Rightarrow a\le \frac{9}{2} \Rightarrow f_{MAX}=f(8)[/tex]
[tex]\Rightarrow f_{MAX} -f_{min}=a^2-16a+64=(a-8)^2 \ge (\frac{9}{2}-8)^2=\frac{49}{4}[/tex]

2.сл Нека [tex]f(8)\le f(1) \Rightarrow 64-16a\le 1-2a \Rightarrow a\ge \frac{9}{2}\Rightarrow f_{MAX}=f(1)=1-2a[/tex]
[tex]\Rightarrow f_{MAX} -f_{min}=a^2-2a+1=(a-1)^2\ge(\frac{9}{2}-1)^2=\frac{49}{4}[/tex]

Разликата ще е най-малка за [tex]a=1 , a=8[/tex] и ще е [tex]\frac{49}{4}[/tex]

[dimo72]

Не ли е при [tex]a=\frac{9}{2}[/tex]?

[math10.com]

Да
При [tex]a=\frac{9}{2}[/tex] е....