Страни на АВС

[dimo72]

В [tex]\Delta ABC (AC<BC)[/tex] с периметър [tex]P=45[/tex] точките [tex]M[/tex] и [tex]O[/tex] са съответно медицентър и център на вписаната окръжност. Отсечката [tex]MO[/tex] има дължина [tex]1[/tex] и е успоредна на страната [tex]AB[/tex]. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

[monika_at]

15, 12, 18 ?

[dimo72]

Да, толкова са.

[math10.com]

Тази е готина задачка.Има елегантно решение на няколко реда.Интересно ми е dimo72 как я решава?Г-жа Симеонова е ясно.Тя може да я реши по няколко начина

[dimo72]

Тази е готина задачка.Има елегантно решение на няколко реда.Интересно ми е dimo72 как я решава?Г-жа Симеонова е ясно.Тя може да я реши по няколко начина

За жалост не можах да я измисля, Вие как я решавате?

[math10.com]

dimo1.png (49.11 KiB) Прегледано 309 пъти

[tex]\Delta NMC \approx \Delta HEC \Rightarrow \frac{CN}{CH}=\frac{CM}{CE}=\frac{2}{3} \Rightarrow r=OD=NH=\frac{1}{3}CH[/tex]
[tex]S_{ABC}=p.r=\frac{45r}{2}=\frac{15.CH}{2}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AB.CH}{2} \Rightarrow AB=15[/tex]
[tex]\Delta PMC \approx \Delta AEC \Rightarrow \frac{PC}{AC}=\frac{MC}{EC}=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Delta PQC \approx \Delta ABC \Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{QC}{BC}=\frac{PC}{AC}=\frac{2}{3} \Rightarrow PQ=10 \Rightarrow AC=3AP ; BC=3BQ[/tex]
[tex]M[/tex] е средата на [tex]PQ \Rightarrow PO=PM-OM=5-1=4 ; QO=QM+MO=5+1=6[/tex]
[tex]AO,BO[/tex] са ъглополовящи съответно на ъглите [tex]\angle BAC=\alpha[/tex] и [tex]\angle ABC=\beta[/tex]
[tex]\angle AOP=\angle OAB=\frac{1}{2}\alpha=\angle OAP ; \angle BOQ=\angle OBA=\frac{1}{2}\beta=\angle OBQ[/tex] като кръстни
[tex]\Rightarrow \Delta AOP[/tex] и [tex]\Delta BOQ[/tex] са равнобедрени [tex]\Rightarrow AP=OP=4 ; BQ=OQ=6[/tex]
[tex]\Rightarrow AC=3AP=3.4=12 ; BC=3BQ=3.6=18[/tex]

[dimo72]

Много ми хареса решението, благодаря за помощта!

[monika_at]

Хубаво е да се знае, че ако [tex]OM||AB=>2AB=AC+BC[/tex]
Аз построих ъглополовящата [tex]CL[/tex] и разгледах подобните [tex]\Delta COM; \Delta CLE[/tex], като ползвах свойството на ъглополовящата.

[kmitov]

tri.png (25 KiB) Прегледано 295 пъти