Параметър

[Zarrie]

Да се намери НМС на израза:

[tex]6a^2+b^2+2ab-30a-10b-5[/tex] и за кои стойности на [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] се достига?

[math10.com]

[tex]6a^2+b^2+2ab-30a-10b-5=[/tex]
[tex]a^2+b^2+2ab-10b-10a+25+5a^2-20a-30=[/tex]
[tex](a+b-5)^2+5a^-20a+20-50=[/tex]
[tex](a+b-5)^2+5(a-2)^2-50[/tex]

[tex]\Rightarrow a=2 ; b=3 ;min=-50[/tex]

Това е с елементарна математика

А понеже някои от вас им е интересно какво ще учат във висшето образование ето и решение с Висша математика(Анализ 2):

[tex]F(a,b)=6a^2+b^2+2ab-30a-10b-5[/tex]
Намираме първите частни производни:
[tex]\frac{dF}{da}=12a+2b-30[/tex]
[tex]\frac{dF}{db}=2b+2a-10[/tex]
Приравняваме ги на нула и решаваме системата уравнения:
[tex]\begin{array}{|l} 12a+2b-30= 0 \Rightarrow b=15-6a\\ 2b+2a-10= 0 \Rightarrow b=5-a\end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow 15-6a=5-a \Rightarrow a=2 ; \Rightarrow b=3[/tex]

Намираме вторите частни производни:
[tex]\frac{d^2F}{da^2}=12[/tex]
[tex]\frac{d^2F}{db^2}=2[/tex]
[tex]\frac{d^2F}{dadb}=\frac{d^2F}{dbda}=2[/tex]
Намираме детерминантата от получените стойности:
[tex]\Delta=\frac{d^2F}{da^2}.\frac{d^2F}{db^2}-(\frac{d^2F}{dadb})^2=20[/tex]
[tex]\Rightarrow a=2 ; b=3[/tex] са локални екстремуми и [tex]\Delta >0 ; \Rightarrow[/tex] имаме минимум
[tex]F(2,3)=24+9+12-60-30-5=-50[/tex]

[radgx]

Нека предложа и едно мое решение. То по скоро е за хора до 12 клас.
Решавам го относно [tex]a[/tex]
[tex]y=6a^{2}+(2b-30)a+b^{2}-10b-5[/tex]
[tex]y'=12a+2b-30[/tex]
[tex]y_{min}(a=\frac{15-b}{6})=\frac{5b^2-30b-225}{6}[/tex]
[tex]y'_{min}(a=\frac{15-b}{6})=\frac{5b-15}{3}[/tex]
[tex]min_{y_{min}(a=\frac{15-b}{6})}[/tex] се достига, когато [tex]b=3[/tex]
От там вече излизат и [tex]a[/tex] и [tex]y_{min}[/tex]