Правоъгълен триъгълник

[Zarrie]

[tex]\triangle ABC : \angle C = 90^{\circ}, AC = 12, BC=9, M \in AC : AM = MC, N \in BC : BN = NC, AN \cap BM=G[/tex]
[tex]\exists k(I;r) : k \cap ABC = V,S,P : \begin{array}{|l} V \in AB, S \in BC, P \in AC\\ IV \bot AB, IS \bot BC, IP \bot AC =r\end{array}[/tex]
[tex]IG = ?[/tex]

[monika_at]

Хубава задача. Забелязваме, че [tex]2AC=AB+BC[/tex] Ще докажем, че ако за един триъгълник това е изпълнено, то
[tex]IG||AC[/tex]
При стандартните означения за триъгълник. Нека построим разстоянието от медицентъра до АС и нека то е GF.
[tex]S_{AGC}=\frac{1}{3}S_{ABC}=>S_{AGC}=\frac{1}{3}.\frac{a+b+c}{2}r=\frac{1}{3}.\frac{3b}{2}r=\frac{br}{2}[/tex],но

[tex]S_{AGC}=\frac{b.FG}{2}=>IP=r=FG=>GI||AC=>GI=FP[/tex]

[tex]FP=MC-(MF+PC); MF=\frac{1}{3}MC=2; CP=\frac{a+b-c}{2}=2=>FP=2[/tex]