ТУ - 30 задача

[Гост]

Здравейте, някой може ли да ми помогне да си разбера грешката на 30-та задача от тук? http://priem.tu-sofia.bg/kcfinder/uploa ... 4-15_2.pdf
Означаваме пресечната точка на височината на трапеца ABCD от върха C към основата AB с H. Следователно [tex]\angle HCA_1=\varphi[/tex]
В [tex]\Delta AHA_1[/tex] страните [tex]AA_1=AH=4b \Rightarrow HA_1=4\sqrt{2}b[/tex] От [tex]\Delta HCA_1 \Rightarrow cotg\varphi=\frac{CH}{4\sqrt{2}b}\Rightarrow CH=4\sqrt{2}bcotg\varphi \Rightarrow V=S_{ABCD}*4b=4b*4\sqrt{2}bcotg\varphi*4b=64b^3\sqrt{2}cotg\varphi[/tex], а отговорът, който е посочен е: [tex]V=64b^3\sqrt{cotg^2\varphi-1}[/tex]

[ptj]

Призмата е права, затова височината е [tex]CC_1[/tex].

[tex]\angle CAC_1=\angle A_1CA=\varphi[/tex]

[tex]tg\varphi=\frac{CC_1}{AC}\Leftrightarrow AC=CC_1.cotg\varphi=4b.cotg\varphi[/tex]

[tex]CH^2+AH^2=AC^2[/tex]

[tex]CH^2=(4b)^2(cotg^2 \varphi-1)\Leftrightarrow CH=4b\sqrt{cotg^2\varphi-1}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{(6b+2b).4b\sqrt{cotg^2\varphi-1}}{2}[/tex]

[tex]V=h.S_{ABCD}=(4b)^3\sqrt{cotg^2\varphi-1}=64b^3\sqrt{cotg^2\varphi-1}[/tex]

П.П. Не си обърнал внимание кое е ъгъла [tex]\varphi[/tex].

[Knowledge Greedy]

Грешката е в самото начало.
Казано е "Ъгълът между [tex]A_1C[/tex] и равнината на основата е [tex]\varphi[/tex].
Тъй като призмата е права, то този ъгъл е [tex]\angle ACA_1[/tex].
Оттук [tex]AC=A_1Acotg \varphi =4b cotg\varphi[/tex]

[Гост]

Точно това ми е проблемът, не мога да определям ъглите. Защо този ъгъл, който посочих не е равен на фи? Нали и правата CH e от равнината на основата?

[ptj]

Ъгъл между права и равнина е ъгъла между правата и нейната ортогонална проекция.

В тази задача за да определиш ъгъла [tex]\varphi[/tex] между правата [tex]A_1C[/tex] и равнината [tex](ABCD)[/tex] трябва да намериш ортогоналната проекция на [tex]A_1C[/tex] в равнината[tex](ABCD)[/tex].

Тъй като т.C e от самата равнина, то трябва да намериш само проекцията [tex]А'[/tex] на т.[tex]А_1[/tex], като:
1.) [tex]т.А'\in(ABCD)[/tex],
2.) [tex]A_1A' \bot(ABCD)[/tex], т.е. [tex]А_1А'[/tex] е перпендикулярна на произволна (всяка) права от [tex](ABCD)[/tex].

За да разбереш какво означава перпендикулярна права ще ти цитирам и теоремата:
Права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендукулярна на (кои да е) 2 прави от нея.

В тази задача не се налага да използваш споменатата теорема, защото по условие призмата е права, т.е. нейните околни ръбове са перпендикулярни на равнините на основите.
В частност [tex]А_1A\bot(ABCD)[/tex] или [tex]т.А'\equiv т.А[/tex].
Ортогоналната проекция на [tex]A_1C[/tex] и равнината [tex](ABCD)[/tex] e [tex]AC[/tex] и затова ъгъла [tex]\varphi[/tex] е [tex]\angle A_1CA[/tex].