Н и M

[dimo72]

Точките [tex]H[/tex] и [tex]M[/tex] са съответно ортоцентър и медицентър на остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex], като [tex]AC = 6, BH = 3, \angle BAC = 45^\circ[/tex]. Точка [tex]K[/tex] е среда на отсечката [tex]HM[/tex]. Да се намери лицето на [tex]\Delta AKB[/tex].

[Knowledge Greedy]

Нека височината е [tex]CD[/tex], тогава явно [tex]AD=CD=3\sqrt{2}[/tex].
От подобието на [tex]\Delta ACD[/tex] и [tex]\Delta BHD[/tex] следва, че [tex]BD=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]
и [tex]AB=\frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex].
Тогава лицето
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{27}{2}[/tex]

[tex]S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}\left ( S_{\Delta ABM}+S_{\Delta ABH} \right ) \,\ (\ast)[/tex]

Но [tex]S_{\Delta ABM}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\frac{27}{2}=\frac{9}{2}[/tex],
а [tex]S_{\Delta ABH}=\frac{1}{2}.\frac{9\sqrt{2}}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{27}{4}[/tex].

И накрая от [tex](\ast)[/tex] получаваме [tex]S_{\Delta ABK}=\frac{45}{8}[/tex].

п.п. Можеше да заобиколим посредничеството на [tex]S_{\Delta ABC}[/tex].