Триъгълна пирамида

[dimo72]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCD[/tex] с взаимно перпендикулярни околни ръбове [tex]AD, BD[/tex] и [tex]CD[/tex]. Върхът [tex]F[/tex] на правилната четириъгълна пирамида [tex]MNPQF[/tex] лежи на ръба [tex]AD[/tex], а върховете на основата [tex]MNPQ[/tex] лежат на останалите ръбове на триъгълната пирамида. Да се намери отношението на обема на пирамидата [tex]MNPQF[/tex] към обема на пирамидата [tex]ABCD[/tex].

[Knowledge Greedy]

Допълваме пирамидата до правоъгълен паралелепипед [tex]\Pi[/tex] . Обемът на [tex]ABCD[/tex] е [tex]\frac{1}{6}[/tex] от обема на [tex]\Pi[/tex].
За намиране обема на [tex]MNPQF[/tex] построяваме средата [tex]K[/tex] на ръба [tex]AD[/tex].
Обемът на пирамидата [tex]MNPQF[/tex] е [tex]\frac{1}{3}[/tex] от обема на призмата [tex]KQMDNP[/tex].
Не е трудно да се забележи, че призмата [tex]KQMDNP[/tex] е подобна (дори хомотетична) на половината паралелепипед [tex]\Pi[/tex] , ето защо [tex]V_{KQMDNP}[/tex] e [tex]\frac{1}{16}[/tex] от обема на [tex]\Pi[/tex].
Следователно търсеното отношение е [tex]\frac{1}{48}:\frac{1}{6}=1:8[/tex]

[dimo72]

Благодаря за решението, интересно е как са работили авторите на задачата. Дали са отговор [tex]\frac{2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^3}[/tex], който не знам как получават.