Няколко екстремални задачи

[Sarolov]

ЗАДАЧА 1. Четириъгълникът ABCD е равнобедрен трапец (AB||CD). Ъгълът ABC е равен на алфа, а периметърът на трапеца е а. Намерете максималното лице на трапеца, когато дължината на бедрото му се изменя от 0 до а/2.

ЗАДАЧА 2. Даден е тригълник АВС със страни АВ=10, АС=8 и ъгъл А=60 градуса.
а) Намерете радиусите R и r съответно на описаната и вписаната окръжност.
б) В триъгълника АВС е вписан успоедник АМNP ( M \in AB, N \in BC, P \in AC). Ако АМ=х, намерете стойностите на х, при които лицето на успоредника е най-голямо и пресметнете това лице.

ЗАДАЧА 3. Върху дадената отсечка АВ=а леи точка М, като АМ=х. Нека АВСD е ромб с пресечна точка О на диагоналите, а вписаната в тръгълника АВО окръжност минава през точката М. Да се определи:
а) Лицето на ромба АВСD като функция на х.
б) Положението на точката М, когато лицето на ромба е най-голямо и да се изчисли това лице.