Описана около триъгълник окръжност

[Kobek]

Здравейте

Имам проблем с една от задачите, публикувани в 4-ти брой на сп. Математика.
Тя е следната :

Даден е триъгълникът ABC, за който [tex]\angle[/tex] ABC = 60[tex]^\circ[/tex]. Точките M и N лежат върху описаната около триъгълника окръжност и са среди съответно на дъгите AB и BC. Отсечката MN пресича AB и BC съответно в точките P и Q, като BQ = 2015. Да се намери дължината на отсечката PQ.

ПС: Предполагам, че въпросната отсечка също е равна на 2015 (защото ще се окаже, че триъгълникът в който лежат 2-те е равностранен) иначе не биха дали такова голямо число. Само дето нямам никаква идея как мога да го докажа... не знам как да използвам факта, че M и N са среди на дъгите.

[Knowledge Greedy]

Използвай, че [tex]\overset{\frown}{MN}=120^\circ[/tex]
- точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са среди на две дъги, чиято обща мярка е [tex]240^\circ[/tex].

[s.karakoleva]

Важно е тук да се отчете факта, че B е от ГМТ от които [tex]AC[/tex] се вижда под [tex]\angle 60^\circ[/tex]
За да намерим центъра на ГМТ построяваме [tex]\angle KCA=60^\circ[/tex], издигаме права [tex]n\bot KC[/tex] и [tex]O=n\cap s_{AC}[/tex]

[tex]\stackrel{\frown}{AC}=120^\circ,\stackrel{\frown}{ABC}=240^\circ[/tex]

Нека [tex]\angle A=\alpha\Rightarrow \angle OAB=\alpha-30^\circ[/tex]

M разполовява дъгата [tex]\stackrel{\frown}{AB}[/tex] следователно разполовява и хордата [tex]AB \Rightarrow M\in s_{AB}\Rightarrow \angle ABO=\alpha-30^\circ[/tex]

[tex]\angle B=60^\circ\Rightarrow \angle OBC=60^\circ-(\alpha-30^\circ)=90^\circ-\alpha[/tex]

N разполовява [tex]\stackrel{\frown}{BC} \Rightarrow N\in s_{BC}\Rightarrow \angle OCB=90^\circ-\alpha\Rightarrow \stackrel{\frown}{MB}=180^\circ-2\alpha[/tex]

[tex]\stackrel{\frown}{CN}= \stackrel{\frown}{NB}=\alpha[/tex]

По условие [tex]\stackrel{\frown}{MB}+ \stackrel{\frown}{NB}=\frac12 240^\circ=120^\circ[/tex]

Като сравним получените мерки на дъгите:
[tex]180^\circ-2\alpha+\alpha=120^\circ\Rightarrow \alpha=60^\circ[/tex]

Така доказахме, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен. Същото установяваме и за [tex]\triangle PBQ[/tex]

Тъй като хордите MN и AC отсичат равни дъги от окръжността, то те са равни.
Забелязваме също, че [tex]\triangle AOC\cong\triangle MON \Rightarrow[/tex]
имат равни височини, като веднага се вижда, че [tex]OT=R/2[/tex], където [tex]T=OB\cap MN[/tex]

[tex]BT=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}[/tex]

[tex]\triangle PBQ\sim \triangle ABC[/tex]
[tex]\frac{PB}{AB}=\frac{\frac{R}{2}}{3\frac{R}{2}}=\frac13\Rightarrow AC=AB=MN=3\cdot 2015=6045[/tex]

[inveidar]

Така доказахме, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен.

Стига бе?!

[inveidar]

[tex]\stackrel{\frown}{AC}=120^\circ,\stackrel{\frown}{AM}=\stackrel{\frown}{MB}=x^\circ,\stackrel{\frown}{CN}=\stackrel{\frown}{NB}=y^\circ[/tex][tex]\Rightarrow 2x^0+2y^0=240^0 \Rightarrow x^0+y^0=120^0[/tex]
[tex]\angle BPQ=\frac{1}{2}(x^0+y^0)= \angle PQB[/tex][tex]\Rightarrow \angle BPQ= \angle PQB=60^0[/tex],
т.е. [tex]\Delta BQP[/tex] е равностранен.(Може би си забравил, че ъгъл, на който върхът е вътрешна точка за окръжността се измерва с полусбора от дъгите, които раменете му и техните продължения отсичат от окръжността!)

[s.karakoleva]

Така доказахме, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен. Същото установяваме и за [tex]\triangle PBQ[/tex]

[tex]\Delta BQP[/tex] е равностранен.(Може би си забравил, че ъгъл, на който върхът е вътрешна точка за окръжността се измерва с полусбора от дъгите, които раменете му и техните продължения отсичат от окръжността!)

И аз доказах същото при отчитане на тези факти.

[s.karakoleva]

Сега разбрах - решила съм по-сложната задача: Да се намери [tex]MN[/tex]. За [tex]PQ[/tex] е елементарно и се вижда веднага. Благодаря inveidar!

[math10.com]

Сега разбрах - решила съм по-сложната задача: Да се намери [tex]MN[/tex]. За [tex]PQ[/tex] е елементарно и се вижда веднага. Благодаря inveidar!

[tex]\Delta ABC[/tex] въобще не е задължително да е равностранен.Нито пък [tex]MN[/tex] трябва да е 3 пъти по-голямо от [tex]PQ[/tex]

[inveidar]

Точно така. Доказателството и на двете е грешно.