Вписан четириъгълник

[denica11]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, на която диагоналът му AC е диаметър. Ако AB = 2.корен5, BC=корен5 и ∠DAC=2.∠BAC , намерете диагонала BD.

[darinalazarova73]

Не съм кандидат студент.Правилно ли е да пратя моя отговор?
Реших я чрез синусовата теорема,става и чрез косинусова,но по дълго и сложно е .

[Davids]

В случая най-бързо и рационално е нещата да се сведат до употребата на първата формула на Птоломей. За целта:
Означаваме по-малкия от дадените ъгли с алфа, а другияг - с два пъти алфа. Лесно се вижда от даденото, тъй като двата триъгълника са вписани по диаметъра на окръжността, че те са правоъгълни. Намираме дадения диагонал по питагорова теорема:
[tex]AC = \sqrt{5 + 20} = 5[/tex]
Вижда се, че [tex]tg\alpha = \frac{1}{2}[/tex]
Намираме другите две ключови тригонометрични функции по фундаменталните начини. Вече знаем:
[tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]
Откъдето чрез формулата за синус на двоен ъгъл намираме: [tex]sin2\alpha = \frac{4}{5}[/tex]
Аналогично за косинуса. Оттам вече знаем, че [tex]AD = 3; CD = 4[/tex].
Дойде моментът за Птоломей: [tex]5.BD = 3.\sqrt{5} + 4.2\sqrt{5} = 11\sqrt{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow BD = \frac{11}{5}\sqrt{5}[/tex]
Като се прибера, мога да покажа и другите три начина, сред които и една по-кратка системка от косинусови теореми.

[loving_math]

1.Намиране на АС.
2. Намиране на синус алфа.
3. Hамиране на синус на удвоената алфа.
4. Hамиране на другите две страни на четириъгълника.
5.Намиране на лицето му - 11 кв. см.
6. Уравнение със сбор от лица на два тригълника и намиране на търсения диагонал.

[Davids]

Сега ще обобщим няколко начина. С цел максимална изчерпателност, разбира се
Не твърдя че са разумни или практични, просто ги има в случай, че не се сещаме за другите

vpisan_chetiriugulnik.png (53.48 KiB) Прегледано 894 пъти

Означаваме по-малкия от дадените ъгли с алфа, а другияг - с два пъти алфа. Лесно се вижда от даденото, тъй като двата триъгълника са вписани по диаметъра на окръжността, че те са правоъгълни. Намираме дадения диагонал по питагорова теорема:
[tex]AC = \sqrt{5 + 20} = 5[/tex]
Вижда се, че [tex]tg\alpha = \frac{1}{2}[/tex]
Намираме другите две ключови тригонометрични функции по фундаменталните начини. Вече знаем:
[tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]
Откъдето чрез формулата за синус на удвоен ъгъл намираме:
[tex]sin2\alpha = \frac{4}{5}[/tex]
Аналогично за косинуса: [tex]cos2\alpha = \frac{3}{5}[/tex]
Оттам вече знаем, че [tex]AD = 3; CD = 4[/tex]

Дотук основното. Търсения диагонал е в червено и ще го означавам с [tex]x[/tex].
Сега няколко различни начина за решение:

1)
Най-бърз и лесен (според мен) - по първата формула на Птоломей, както съм описал горе, понеже четириъгълникът е вписан и знаем всичките му страни. Получаваме:
[tex]d_1.d_2 = ac + bd \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{5} + 4.2\sqrt{5} = 11\sqrt{5} \Rightarrow x = \frac{11}{5}\sqrt{5}[/tex]


2)
Една система, която според мен е изгодна. Първото уравнение получаваме ако направим косинусова теорема за [tex]\Delta ABD[/tex] относно търсения диагонал, а второто - чрез косинусова теорема за [tex]\Delta DBC[/tex] за същия диагонал.
Получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = 9 + 20 - 2.3.2\sqrt{5}.cos3\alpha \\ x^2 = 16 + 5 - 2.4\sqrt{5}.cos(180-3\alpha) \end{array}[/tex]
Полагаме [tex]y = cos3\alpha[/tex] като ползваме факта, че [tex]cos(180-3\alpha) = -cos3\alpha = -y[/tex]
Системата придобива вида:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = 29 - 12\sqrt{5}y \\ x^2 = 21 + 8\sqrt{5}y \end{array}[/tex]
Вадим почленно и получаваме:
[tex]8 - 20\sqrt{5}y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{2}{5\sqrt{5}}[/tex]
Заместваме в произволно уравнение (предпочитам второто), получавайки:
[tex]x^2 = 21 + 8\cancel{\sqrt{5}}.\frac{2}{5\cancel{\sqrt{5}}} = 21 + \frac{16}{5} = \frac{121}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11}{5}\sqrt{5}[/tex]

3)
Косинусова теорема или в [tex]\Delta ABD[/tex] относно [tex]AB[/tex], или в [tex]\Delta DBC[/tex] относно [tex]BC[/tex]. Уравненията са различни, но имат един общ валиден корен. Ще направя само първата:
[tex](2\sqrt{5})^2 = 3^2 + x^2 - 2.3.sin\alpha[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]x^2 - \frac{6}{5}\sqrt{5}.x - 11 = 0[/tex]
[tex]D = \frac{256}{5} \Leftrightarrow \sqrt{D} = \frac{16\sqrt{5}}{5}[/tex]
И единствен положителен корен е [tex]x = \frac{\frac{6\sqrt{5}}{5} + \frac{16\sqrt{5}}{5}}{2} = \frac{22}{10}\sqrt{5} = \frac{11}{5}.sqrt{5}[/tex]

При другото уравнение се получават два положителни корена, само че единият излиза [tex]x = \sqrt{5}[/tex], откъдето триъгълника ти става равнобедрен, откъдето [tex]\alpha = 2\alpha[/tex]. Това е противоречието отричащо втория положителен корен.

[tex]4)[/tex]
Както каза loving_math, можем да направим следното:
[tex]S_{ACD} = \frac{3.4}{2} = 6cm^2[/tex]
[tex]S_{ABC} = \frac{2.\sqrt{5}.\sqrt{5}}{2} = 5[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABCD} = 11 = S_{ABD} + S_{DBC}[/tex]
Лицата на другите два триъгълника ще представим чрез произведение на двете страни и синуса на ъгъла между тях върху 2.
[tex]\Rightarrow 11 = \frac{4xsin\alpha}{2} + \frac{3x.sin(90-\alpha)}{2} = \frac{4.x.\sqrt{5}}{2.5} + \frac{3x.2\sqrt{5}}{2.5} = x\sqrt{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{5}[/tex]

[tex]5)[/tex]
Ако означим пресечната точка на диагоналите с [tex]F[/tex], а след това означим [tex]FC = y; FB = p[/tex], следователно [tex]DF = x - p; AF = 5 - y[/tex]

От подобията [tex]\Delta AFD \approx \Delta CFB[/tex] и [tex]CFD \approx AFB[/tex] следват следните две уравнения:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{x-p}{y} = \frac{5-y}{p} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{x-p}{5-y} = \frac{y}{p} \end{array}[/tex]
От първите две части на всеки ред следва:
[tex]\sqrt{5}(x-p) = 3y = 2(5-y) \Leftrightarrow y = 2[/tex]
Заместваме в зависимостта между първата и третата част на втория ред:
[tex]2p = \sqrt{5}y = 2\sqrt{5} \Rightarrow p = \sqrt{5}[/tex]

И финално си намираме хикса от първите две части на първия ред:
[tex]3y = \sqrt{5}(x-p)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 6 = \sqrt{5}x - 5[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11}{5}.sqrt{5}[/tex]

[loving_math]

David, още по-лесно е в сбора от лица да не се намесва тригонометрия.
[tex]\frac{4.\sqrt{5}.d}{4.5}+\frac{3.2\sqrt{5}.d}{4.5}=11[/tex]

[Davids]

David, още по-лесно е в сбора от лица да не се намесва тригонометрия.
[tex]\frac{4.\sqrt{5}.d}{4.5}+\frac{3.2\sqrt{5}.d}{4.5}=11[/tex]

И това е така, просто така ми дойде, на тригонометрична вълна бях