Параметрични квадратни уравнения/неравенства

[iskraa]

Здравейте! Моля ви обяснете ми как се рвшават квадратните параметрични уравнения и неравенства. Някакъв алгоритъм на решение също ме удовлетворява. Благодаря предварително!

[monika_at]

Няма алгоритъм. Пътища много.

[Knowledge Greedy]

Здравейте, iskraa ! Много мило и възпитано писмо. Много бих искал да мога да отговоря. Но, за съжаление, не мога. Вместо това оставих в поста първоначалната си реакция на безсилие, за което моля за извинение Ето я.

Здравейте! Моля ви обяснете ми как се рвшават квадратните параметрични уравнения и неравенства. Някакъв алгоритъм на решение също ме удовлетворява. Благодаря предварително!

Ааа, алгоритми има много, но си ги пазим в тайна!
Пък и не знаем на какъв човек ги разказваме - кой знае какви неща ще направи с тях!?
___________
Шегата настрана, въпросът ми харесва! МАЩАБЕН!! Предизвика леко объркване у monika_at , която първосигнално се оттегли.
Но най ми харесва снизходителната втора част на въпроса

Здравейте! ... Някакъв алгоритъм на решение също ме удовлетворява.

пак ШЕГИЧКА
__________
Съвсем сериозно. Въпросът е за друг раздел.

[iskraa]

И аз се поколебах къде да попитам, но именно защото тези знания са ми нужни основно за кандидатстудентски изпит, реших да рискувам да помоля за информация тук. Както и да е, надявах се, че има някакъв конкретен начин, чиято логика да схвана, както в почти всичко в математиката до този момент, но явно ще предприема други мерки. Ако някой все пак се чувства полезен, ще бъда много щастлива.

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]a,\,\ b[/tex] и [tex]c[/tex] са известни числа, а [tex]x[/tex] е неизвестно. Ако [tex]a\ne 0[/tex] , то уравнението [tex]ax^2+bx+c=[/tex]0 се нарича квадратно.

Числото [tex]D[/tex] се пресмята така:
[tex]D=b^2-4ac[/tex]

Числото [tex]D[/tex] се нарича дискриминанта на уравнението.

Когато [tex]D<0[/tex]
- уравнението няма реални корени;

Когато [tex]D=0[/tex]
- уравнението има 1 реален корен. Той се пресмята па формулата [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex];

Когато [tex]D>0[/tex]
- уравнението има два реални корена. Те се пресмятат по формулите [tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}[/tex] и [tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}[/tex]

[iskraa]

Ооо благодаря, но това от сън да ме бутнат ще го кажа. Явно съм грешно разбрана. Ще дам конкретен пример какво точно имам предвид:

За кои стойности на реалния паранетър k уравнението (k-2)[tex]x^{4}[/tex] +2(2k-3)[tex]x^{2}[/tex] +5k-6=0 няма реални корени?

Самият пример може би не е най-основният и удачен, за човек, на когото му се губят неща от сорта на "1-ви случай/2-ри случай..." но просто не намерих друг.

[Knowledge Greedy]

Значи сме квит! Сега може би разбираш колко труден въпрос зададе и защо никой нямаше намерение да ти отговаря.

[iskraa]

Няма какво да се оправдавам . Но все пак, надявам се, че успях да разясня какво точно не ми е ясно .

[ptj]

Ооо благодаря, но това от сън да ме бутнат ще го кажа. Явно съм грешно разбрана. Ще дам конкретен пример какво точно имам предвид:

За кои стойности на реалния паранетър k уравнението (k-2)[tex]x^{4}[/tex] +2(2k-3)[tex]x^{2}[/tex] +5k-6=0 няма реални корени?

Самият пример може би не е най-основният и удачен, за човек, на когото му се губят неща от сорта на "1-ви случай/2-ри случай..." но просто не намерих друг.

Aко положиш [tex]x^2=t\ge 0[/tex] ще получиш:

[tex](k-2)t^2+2(2k-3)t +5k-6=0[/tex]

За да няма съответни решения за [tex]x[/tex] това уравнение трябва или да няма корени или те да са отрицателни.

Както се вижда, добре ще е първо да се запознаеш с теорията за "разпределението на корените на квадратен тричлен".

http://www.solemabg.com/SamKoreniKUN1.htm

[Knowledge Greedy]

Да започнем с първия случай - биквадратно ли е уравнението?
Първи случай - не - коефициентът пред [tex]x^4[/tex] е нула.
[tex]k-2=0[/tex] т.е. [tex]k=2[/tex]

Уравнението
[tex](k-2)x^4 +2(2k-3)x^2 +5k-6=0[/tex]
добива вида
[tex]2x^2 -4=0[/tex] - и има реални корени.

Втори случай - уравнението е биквадратно. Значи [tex]k-2\ne0[/tex]
Полагаме [tex]x^2=u[/tex] . Явно трябва [tex]u\ge[/tex] 0 [tex](\ast)[/tex]
Уравнението
[tex](k-2)x^4 +2(2k-3)x^2 +5k-6=0[/tex]
добива вида
[tex](k-2)u^2 +2(2k-3)u +5k-6=0[/tex]

II.1. Полученото квадратно уравнение има реални корени, но те са отрицателни (виж [tex](\ast)[/tex]) и биквадратното уравнение няма реални корени.
Условията за това са
[tex]\begin{array}{|l} D\ge 0 \\ -\frac{b}{a}< 0 \\ \frac{c}{a}> 0 \end{array} \,\ \,\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (2k-3)^2-(k-2)(5k-6)\ge0 \\ -\frac{2k-3}{k-2}<0 \\ \frac{5k-6}{k-2}>0\end{array}[/tex]

II.2. Полученото квадратно уравнение няма реални корени и следователно даденото биквадратно уравнение няма реални корени.
Достатъчното условие за това е [tex]D<0 \,\ \,\ \Leftrightarrow (2k-3)^2-(k-2)(5k-6)<0[/tex]

Решението на задачата ще се получи от обединението на решенията на случаите II.1. и II.2. .

[iskraa]

МНОГО ви благодаря! Мисля, че схващам нещата!