Задача от прием в Пловдивски университет

[vessy234]

9 клас съм,говорели сме в училище за макс и мин на кв, функция,но за такъв тип не сме...Ще съм много благодарна ако някой обясни как се решава.Благодаря предварително!

[ptj]

Знака на първата производна характеризира нарастването или намалянето на функцията. Когато първата производна е нула - съответната точка е или инфлексна или точка на локален екстремум за функцията.

Иначе за конкретната задача най-малката стойност на функцията очевидно е [tex]0[/tex] (достига се при [tex]x=0[/tex]), защото имаш сума на неотрицателно число и точен квадрат.

[Nathi123]

За функцията у = x + [tex]\frac{4}{(x-2)^{2}}[/tex] няма да може да се приложат разсъждения ,които сте правили за определяне на екстремална стойност на квадратна функция в даден затворен интервал. Трябва да се използват знания ,които не се учат в 9-ти клас.Първо за деф. област х[tex]\in[/tex][0,2)[tex]\cup(2,5][/tex]. За да се намери по - лесно първата производна на у , у може да се запише така: у= х + 4[tex](x-2)^{-2}[/tex]
y'= 1 +4(-2)[tex](x-2)^{-3}[/tex]=1-[tex]\frac{8}{(x-2)^{3}}[/tex]=[tex]\frac{(x-2)^{3}-8}{(x-2)^{3}}[/tex]=[tex]\frac{(x-4).A}{(x-2)^{3}}[/tex], където A= [tex](x-2)^{2}[/tex]+2(x-2)+4.Следователно А>0 за всяко х. Така y' си сменя знака около х=2 и х= 4 . Лявата и дясната граница на у при х клонящо към 2 са плюс безкрайност ,затова най - малката стойност на у в зададения интервал е по - малката от двете стойности у(0)=1 или у(4)=5,т.е. y(0) = 1 .

[Knowledge Greedy]

Ето едно алгебрично решение за девети клас с неравенството [tex]\frac{A+B+C}{3}\ge \sqrt[3]{ABC}[/tex] между средно аритметично и средно геометрично. Равенството при неотрицателни [tex]A, B[/tex] и [tex]C[/tex] се получава, когато са равни [tex]A=B=C[/tex].
Първи случай: [tex]x\in (2;5][/tex]
За най-малка стойност нека [tex]A=B=\frac{x-2}{2}[/tex], а [tex]C=\frac{4}{(x-2)^2}[/tex] .
Тогава
[tex]y=A+B+C+2\ge 3 \sqrt[3]{\frac{x-2}{2}.\frac{x-2}{2}.\frac{4}{(x-2)^2}}+2=5[/tex]
Тази минимална стойност ще се получи при
[tex]\frac {x-2}{2}=\frac{4}{(x-2)^2}[/tex]
което дава [tex](x-2)^3=8[/tex] - значи [tex]x=4[/tex].
при това
[tex]x=4\in (2;5][/tex]
В този случай получихме минимална стойност на [tex]y[/tex] , равна на [tex]5[/tex] .

Втори случай: [tex]x\in [0;2)[/tex]
Дали в интервала [tex][0;2)[/tex] ще се получи по-малка стойност?

Имаме последователно
[tex]0 \le x <2 \,\ \Rightarrow \,\ -2\le x-2 < 0 \,\ \Rightarrow \,\ 4 \ge(x-2)^2> 0 \,\ \Rightarrow \,\ \frac{4}{(x-2)^2} \ge 1[/tex]
Събираме последното неравенство с еднопосочното му [tex]x\ge 0[/tex]
и получаваме
[tex]x+\frac{4}{(x-2)^2} \ge 0+1[/tex]

Значи [tex]y \ge 1[/tex]

И в двете събрани еднопосочни неравенства [tex]равенството[/tex] се достига за едно и също число [tex]x[/tex], а именно за [tex]x=0[/tex], следователно най-малката стойност на [tex]y[/tex] e[tex]y=1[/tex].

Окончателно - от двата случая [tex]min y = 1[/tex], при [tex]x=0[/tex].