Задача от примерна тема по Математика 2 в СУ

[kmitov]

Не успях да докажа твърдението в тази задача. Ако някой помогне ще съм благодарен.



Задача 8. Нека [tex]a, b, c[/tex] са реални числа и [tex]f(x)= x^2+ax+b[/tex] . Ако уравнението [tex]f(x)=0[/tex]
има два различни реални корена, а уравнението [tex](x^2-2x+c)^2+a(x^2-2x+c)+b=0[/tex] няма
реални корени, да се докаже, че [tex]f(c)>1[/tex] .


Задачата е от http://www.fmi.uni-sofia.bg/priem/prime ... a%20M2.pdf

[0xdeadbeef]

Само скицата:

[tex]f(x) = 0[/tex] има различни реални корени [tex]x_1,x_2[/tex], така [tex]f(x) = (x-x_1)(x-x_2)[/tex]

[tex]f(x^2 - 2x + c) = (x^2 - 2x + c - x_1)(x^2 - 2x + c - x_2) > 0[/tex], Понеже няма реални корени и старшия коеф е положителен

от тука може да се изкарат неравенства за корените [tex]x_1,x_2[/tex]. После

[tex]f(c) = (c - x_1)(c - x_2)[/tex] ...

[kmitov]

После?

[0xdeadbeef]

сметни сметни дискриминантите на [tex]x^2 - 2x + c - x_1[/tex] и [tex]x^2 - 2x + c - x_2[/tex] и съобрази, че трябва да са отрицателни

[ptj]

[tex]f(x^2-2x+c)=0[/tex] няма корени, точно когато [tex]x^2-2x+c>\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}[/tex] (дясната страна е по-големия корен на [tex]f(x)=0[/tex]),
защото [tex]x^2-2x+c=(x-1)^2+c-1\ge c-1[/tex].

Т.е. необходимо и достатъчно условие е : [tex]c-1>\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}[/tex]

[tex]c+\frac{a}{2}>\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}+1[/tex] (повдигаме на квадрат, дясната страна е положителна)

[tex]c^2+ac+ \frac{a^2}{4}> \frac{a^2-4b}{4}+2\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}+1[/tex]

[tex]c^2+ac+b> 2\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}+1>1[/tex] (дискриминатата на [tex]f(x)=0[/tex] e положителна, защото има 2 различни корена)

Получихме точно [tex]f(c)>1[/tex].

П.П. Горното строго неравенство е изпълнено и при 2-ен корен на [tex]f(x)=0[/tex],
a също и при различни корени на [tex]f(x)=0[/tex] и двоен корен на[tex]f(x^2-2x+c)=0[/tex].
Вероятно авторите са решили да улеснят малко кандидат студентите.

[drago]

Нека корените на [tex]f(x)=0[/tex] са [tex]x_1,x_2\,,\, x_1<x_2[/tex]. За да намерим корените на второто у-ние трябв да решим
[tex]x^2 -2x+c=x_i \,,\, i=1,2[/tex] или [tex](x-1)^2+c-1=x_i[/tex]
И зада няма това реални решения трябва [tex]c>x_2+1[/tex].
Тогава [tex]f(c)>f(x_2+1)= (x_2+1-x_1)(x_2+1-x_2)=x_2-x_1+1>1[/tex]

[kmitov]

Благодаря за решенията!