Квадрат вписан в равнобедрен трапец

[play4u]

math.png (168.28 KiB) Прегледано 565 пъти

Здравейте! 12. клас съм и се готвя за изпитите на края на годината. Наскоро се натъкнах на една задача от приемния изпит 99' година за УАСГ, над която забих тотално. Тя гласи: Върху страните AB, BC, CD, AD на равнобедрен трапец ABCD са взети съответно точките MNPQ така, че да образуват квадрат. Да се докаже, че AQ=CN; пресечната точка на диагоналите на квадрата лежи върху средната отсечка на трапеца; Aко S1 и S2 са съответно лицата на трапеца и квадрата. а [tex]\alpha[/tex] е ъгълът AMQ, то S1=(1+sin2 \alpha)*S2.
Благодаря предварително!
П.П Чертежа е просто мое предположение. Има голям шанс да е грешен

[Knowledge Greedy]

Грешно в чертежа е само [tex]\angle ABC=\alpha[/tex], чети условието. Аз въвеждам малко по-други означения, внимавай.

Само упътване.
Условието за така вписания квадрат е насочване на вниманието за взаимната перпендикулярност на диагоналите на трапеца, поради перпендикулярността на диагоналите на квадрата .

За да докажем [tex]AQ=CN[/tex], трябва [tex]AQ=DQ[/tex].
С две следствия от теорема на Талес [tex]\frac{QP}{AC}=\frac{QD}{AD}[/tex] - за [tex]\angle ADC[/tex];
[tex]\frac{MQ}{BD}=\frac{AQ}{BD}[/tex] - за [tex]\angle BAD[/tex], и поради равенство на левите страни (страните на квадрата са равни помежду си и са равни части от равни диагонали!), получаваме равенство на десните страни (да не забравяме, че [tex]AC=BD[/tex])Тогава [tex]\frac{QD}{AD}=\frac{AQ}{BD}[/tex] и точката [tex]Q[/tex] се оказва среда на бедрото [tex]AD[/tex].

Ако основите на трапеца означим така: [tex]AB=a[/tex] и [tex]CD=b[/tex], то страната на квадрата е [tex]\frac{a+b}{2\sqrt{2}}[/tex], защото всеки от диагоналите е с дължина [tex]\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/tex] (една питагорова теорема - като събереш основите в хипотенуза, а двата диагонали катети).
Оттук лесно [tex]S_1=\frac{(a+b)^2}{4}[/tex]
(Може да се намери и с височината от по-долу, но по-лесно е само с диагоналите[tex]\bot[/tex]са.)
[tex]S_2=\frac{(a+b)^2}{8}[/tex].
Височината на трапеца е диагонал на квадрата, следователно [tex]H=\frac{a+b}{2}[/tex]

[tex]\alpha =[/tex] ъгъл между диагонал и голямата основа.

Начертай правоъгълния триъгълник с хипотенуза единия диагонал, а единият катет да е височината [tex]H[/tex]. Единият остър ъгъл - срещу [tex]H[/tex] е [tex]\alpha[/tex]. Сметките са на два реда. Трябва само да знаеш какво е определението за синус на остър ъгъл.