1/3 рационално число ли е или ирационално?

[camelopard1]

Добър ден, понеже имам много пропуски искам да се подготвя по най-добрия начин за кандидатстването. Именно заради това ще пиша тук за нещата, които така и не мога да схвана и ще се радвам ако някой се отзове да ми помогне.
1. Моля някой да ми даде примери за Реални числа, до колкото знам те включват N,Z,Q,I, но с примери ще ми е по-лесно
2. N,Z,Q,I,R винаги ли трябва да са подредени?
3. Какво означава релация? Честно казано никога до сега не съм се сблъсквал с това и ще се радвам някой да ми го изясни, тъй като гугъл не успя да ми помогне
4. [tex]\frac{1}{3}[/tex] рационално число ли е или ирационално?

[Nathi123]

С N в математиката се означава множеството на естествените числа. Това са числата 1,2,3,4,... и т.н. ( т.е. целите положителни числа).
С Z се означава множеството на целите числа - това са целите ,положителни числа (т.е. естествените ) ,нулата и целите отрицателни числа : -1,-2,3- ... и т.н. Както се вижда естествените числа се съд. в множеството Z. Затова N е подмножество на Z. Отношението на две цели цели числа е рационално число ,например числото [tex]\frac{1}{3}[/tex] ,също числото [tex]\frac{3}{1} = 3[/tex] може да се разглежда като рационално число. Q е означението за множеството на рационалните числа. Други примери за рационални числа : [tex]- \frac{1}{4}; -\frac{4}{1}= 4 ; \frac{3}{5},\frac{5}{3},
\frac{7}{8}[/tex] и т.н. Или виждаме,че целите числа могат да се разглеждат и като рационални числа . Значи Z е подмножество на Q. Доказва се ,че
[tex]\sqrt{2}[/tex] не е рационално число ( не може да се представи от вида [tex]\frac{p}{q}[/tex] , където p и q са цели числа). Такива са също [tex]\sqrt{3},\sqrt{5},-\sqrt{7}[/tex] и т.н. Тези числа са ирационални. Множеството на ирационалните числа се означава с I. Всяко рационално число не е ирационално и всяко ирационално число не е рационално.Т.е. [tex]Q\cap I = 0[/tex] . ( Молко по - голяма задраскана 0 е означението на празното множество) Или по друг начин казано Q и I нямат нито един общ елемент. Но [tex]Q \cup I = R[/tex] . ( рационалните и ирационалните числа образуват множеството на реалните числа). Затова I и Q са подмножества на R. Въвеждането на всяко следващо множество става,като се спазват някои изисквания: познатото вече множество от числа да се съдържа в следващото като подмножество, равенството на числата ,наредбата ,основните операции събиране и умножение да имат същите свойства и в новото множество.

[Nathi123]

Релация в превод от френски означава отношение ,взаимоотношение,връзка. Релация в математиката е например равенство на числа ( a = b), сбор на две числа,произведение на две числа .Може по - подробно да се прочете за всичко казано в материали и в Интернет.

[camelopard1]

Благодаря за отговора, Nathi123. Сега да попитам още нещо. Значи, пример за
N e 1,2,3,4,5,6,7,8.... Винаги ли трябва да са наредени? Важи ли примерно 3,9,21,43,44,49,103... и т.н.?
и за Z ми е същия въпрос, винаги ли трябва да е ...-2,-1,0,1,2... или може и примерно -30,-2,10,34...
и след като Z е подмножество на Q, значи Q включва в себе си и Z (тоест и N), но тогава ми е чудно важи ли следното множество:
-[tex]\frac{100}{3}[/tex], -31,-[tex]\frac{50}{7}[/tex],0, 15, 140, [tex]\frac{2015}{3}[/tex]... и отново ли трябва да има наредба(тоест през едно и също число)?
Също ми е чудно и реалните числа трябва ли да са в подредба когато са в множество?
А и също, примерно:
[tex]\sqrt{3}[/tex]е само ирационално
2 е и естествено и реално и цяло
[tex]\frac{1}{3}[/tex] е реално и рационално
Така е нали?

И още нещо. Доколкото разбрах ирационални са от типа на[tex]\sqrt{3}[/tex], но тогава ми е чудно какъв е случая с [tex]\frac{1}{3}[/tex], защото тя също трудно се пресмята, нали стига до 0,333333333.... това не означава ли също ирационално?

[monika_at]

Всяко рационално число като десетична дроб може да се представи само два начина: като крайна десетична или като безкрайна периодична дроб. Пример. [tex]\frac{3}{5}=0,6[/tex] ; [tex]\frac{1}{3}=0,3333...=0,(3)[/tex]. Всички безкрайни десетични НЕпериодични дроби не могат да се представят като обикновена дроб и се наричат ирационални числа. Пример:
[tex]\pi , e, \sqrt{7}[/tex]

[Nathi123]

N - това е означение в математиката за множеството на естествените числа . { 3,9,21,43,44,49,103} e крайно подмножество на N .
( Не слагам и т.н. , защото сега не виждам закономерност м/у посочените числа, а и не се замислям да я търся). Например безкрайно подмножество на N е {2,4,6,...2n,..}. В множеството N има наредба [tex]n_{1 }>n_{2 }\Leftrightarrow n_{1 } - n_{2 }>0[/tex] [tex]( n_{1 }[/tex] и [tex]n_{2 }[/tex] са естествени числа). Две естествени числа можем да събираме ,умножаваме и делим , но не винаги резултатът от въведените действия е естествено число. Сборът и произведението на кои да са две естествени числа е естествено число ,но разликата и частното - не винаги е естествено число. Например 5 - 7 = -2 - резултатът е цяло отрицателно число. Това налага въвеждането на целите числа ,чието множество е прието да се означава с Z. И целите числа се въвеждат по такъв начин,че естествените числа да се разглеждат и като цели числа и действието изваждане на цели числа да дава винаги цяло число. Иначе {-30,-2,10,34} е множество от цели числа. Множеството Z се разширява до множеството Q , в което множество резултатът от събиране на 2 рац. числа,изваждането,умножението и делението е също рационално число,т.е. резултатът от тези операции е елемент на същото множество. Необходимостта от въвеждането на реалните числа е възникнала ,когато се е разбрало,че уравнението [tex]x^{2}= a,[/tex] при a[tex]\ge0[/tex] не винаги има за решение рационално число. (т.е. въпросът за съществуване на[tex]\sqrt{x}[/tex] в множеството на рационалните числа,при [tex]x\ge0[/tex] ). Необходимостта от разширяване на множеството на реалните числа R е възникнала , когато се е поставил въпросът в новото множество от числа уравнение от вида [tex]x^{2}= -1[/tex] да има решение. Така се въвеждат комплексните числа,но те се изучават в малко училища от средното образование .