Въпроси

[camelopard1]

Здравейте, тъй като ми изникна един въпрос по време на самоподготовката ми, реших да го задам тук.
На темата "Неравенства от по-висока степен" съм и чета информацията от сайта, но не ми е ясно как да реша следното неравенство:
Пример 2 Решете: [tex]3x^{4} + 10x ≤ 11x^{3} + 4[/tex]

Ще съм много доволен ако някой го обясни и също така ми даде и други неравенства от този тип за да си ги реша и ако не успея да попитам пак. Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

[tex]3x^4+10x≤11x^3+4[/tex]
[tex]3x^4-11x^3+10x-4≤0[/tex]
Разлагаме лявата страна на множители, като използваме схема на Хорнер
[tex]3(x+1)\left (x-\frac{2}{3} \right )(x^2-4x+2)\le 0[/tex]
и с метода на интервалите написваме отговора
[tex]\forall x: x\in [-1; 2-\sqrt{2}]\cup \left [ \frac{2}{3};2+\sqrt{2} \right ][/tex]

За схема на Хорнер виж тук http://www.math10.com/bg/algebra/horner.html

За неравенства http://www.math10.com/en/algebra/quadra ... nstva.html

[ptj]

Ако си конструираш сам примери е възможно да срешнеш големи трудности при решаването на някои от тях. По принцип стандартен начин е с разлагането на полином на множители посредством намирането на негови рациoнални нули. С други думи споменатото правило на Хорнер се основава на теоремите на Безу и Гаус. Полезно е да знаеш също, че в обшия случай уравнения от степен по-голяма от 4 са нерешими аналитично.

http://stancho.roncho.net/HighMath/Hor/Hor.html

[camelopard1]

[tex]3x^4+10x≤11x^3+4[/tex]
[tex]3x^4-11x^3+10x-4≤0[/tex]
Разлагаме лявата страна на множители, като използваме схема на Хорнер
[tex]3(x+1)\left (x-\frac{2}{3} \right )(x^2-4x+2)\le 0[/tex]
и с метода на интервалите написваме отговора
[tex]\forall x: x\in [-1; 2-\sqrt{2}]\cup \left [ \frac{2}{3};2+\sqrt{2} \right ][/tex]

За схема на Хорнер виж тук http://www.math10.com/bg/algebra/horner.html

За неравенства http://www.math10.com/en/algebra/quadra ... nstva.html

Много ти благодаря за включването, разбирам я схемата на Хорнер, но точно в този случай не ми е ясно как се е получило. Нали делителите на 4 са +-1,+-2,+-4, за -1 разбирам как става, ама не ми е ясно на там как си продължил, може ли да ми обясниш по-подробно? Благодаря ти предварително.

[camelopard1]

Здравейте, изникна ми още един нов въпрос.
Задачата е : Каква е ДМ на:

[tex]\sqrt[4]{x \choose x+1}[/tex],
значи това под корена трябва да е [tex]\ge[/tex]0, става [tex]\frac{x}{x+1}[/tex], но в този случай знаменателя трябва да е различен от 0, търси ли се второ ДМ, демек x+1[tex]\ne[/tex] 0?

И как стоят нещата при нечетните корени? Пак ли това под корена трябва да е [tex]\ge[/tex]0

също не ми е ясно и как да реша:
Да се реши уравнението:
[tex]|x - 1|^{x + 1}=1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Давай по ред. Ясно е, че си мислиш, че си чувал за схемата на Хорнер. Да видим.
Ако търсим рационалните корени на полинома
[tex]3x^4−11x^3+10x−4[/tex], значи търсим [tex]x[/tex] във вида [tex]\frac{m}{n}[/tex], където [tex]m[/tex] e делител на [tex](-4)[/tex] - едно от числата [tex]\{-4; \,\ -2; \,\ -1; \,\ 1; \,\ 2; \,\ 4 \}[/tex]
Числото [tex]n[/tex] е делител на [tex]3[/tex], значи [tex]n\in \{1; \,\ 3 \}[/tex].
Знаеш да заместваш в схемата на Хорнер, но съм сигурен, че не си проверил с числата [tex]- \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}[/tex] .
_______________
За дефиниционното множество трябва да знаеш две неща:
- не се дели на нула;
- не се коренува отрицателно (ако кореновият показател е 4).
Следователно за ДМ на [tex]\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}[/tex] имаме двете условия - в система
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{x+1}\ge 0 \\ x +1\ne 0 \end{array}[/tex]
Резултатът е [tex]\forall x\in (-\infty; -1)\cup [0;+\infty)[/tex]
_______________
За уравнението [tex]|x−1|^{x+1}=1[/tex]
след логаритмуване [tex]lg\left ( |x−1|^{x+1} \right )=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ (x+1)lg |x−1|=0[/tex]
Възможностите са две:
или [tex]x+1=0[/tex] или [tex]lg|x−1|=0[/tex]
Първото дава [tex]x_1=-1[/tex], а от второто: [tex]x_2=0[/tex] и [tex]x_3=2.[/tex]
(ноо в това решаване трябва да знаеш много неща..., например , че [tex]log 1=0[/tex])

[camelopard1]

Knowledge Greedy,благодаря за отговора!
Това за m/n наистина не го знаех. Да разбирам ли, че m е делител на коефициента пред най-високата степен (с изключение на отрицателните)? В случая 1 и 3, но не -1 и -3?

А за втората задача с модула, няма ли и друг начин на решаване?

[kmitov]

На уравнението $|x-1|^{x+1}=1$, $x=0$ също е решение.

[Knowledge Greedy]

... x=0 също е решение.

Ами аз горе какво съм написал? [tex]x_2 \,\ ?[/tex]

[Knowledge Greedy]

... А за втората задача с модула, няма ли и друг начин на решаване?

[tex]|x−1|^{x+1}=1[/tex]
Решение:
[tex]\Delta[/tex] Ако основата [tex]x-1\ne 0[/tex], понеже всяко число на нулева степен е [tex]1[/tex]-ца, следва, че [tex]x+1=0 \,\ \Rightarrow \,\ x_1=-1[/tex]
[tex]\Delta \Delta[/tex] Тъй като единица на всяка степен е 1-ца, следва, че основата [tex]|x-1|=1 \,\ \Rightarrow \,\ x_2=0 \,\ и \,\ x_3=2[/tex]
[tex]\Delta \Delta \Delta[/tex] Знаем, че [tex](-1)[/tex] повдигнато на четна степен е [tex]1[/tex]-ца, извод:
1.) основата е [tex](-1)[/tex]
2.) степенният показател е четно число
но основата е с модул, значи не може да е [tex](-1)[/tex]. Остават трите решения от другите случаи.

[Knowledge Greedy]

...
Това за m/n наистина не го знаех. Да разбирам ли, че m не е делител на коефициента пред най-високата степен (с изключение на отрицателните?!)? В случая 1 и 3, но не -1 и -3? ...

Предполагам, че отново в бързината си допуснал грешка. Както съм го написал [tex]m[/tex] е делител на свободния член, а [tex]n[/tex] е делител на на коефициента пред най-високата степен.
Що се отнася до знаците - можеш да прецениш колко пъти ще смяташ, ако
различаваш числата [tex]-\frac{2}{3}, \frac{2}{-3} \,\ и \,\ \frac{-2}{3}[/tex] Това е причината да не разглеждам отрицателни значения на [tex]n[/tex] - спестявам ти половината сметки!

[camelopard1]

,
ДМ не трябва ли да е x[tex]\in[/tex] (-[tex]\infty[/tex];-2)[tex]\cup[/tex] (2;[tex]+\infty[/tex])

[Knowledge Greedy]

ДМ: [tex]x∈ (-\infty;-2)∪(-2;2)∪ (2;+\infty)[/tex] - нали по-горе сам/а си написал [tex]\forall x\ne\pm2[/tex]

[camelopard1]

ДМ: [tex]x∈ (-\infty;-2)∪(-2;2)∪ (2;+\infty)[/tex] - нали по-горе сам/а си написал [tex]\forall x\ne\pm2[/tex]

това отгоре не съм го писал аз, а е решение на друг и ми стана чудно
не ми е ясно защо (-2;2) е решение?

[camelopard1]

Нова молба за помощ:



Не ми е ясно това последното. Как се случва? Ако е възможно ще се радвам някой да ми начертае графиката и да ми го обясни. Нагоре го разбрах, но това последното не ми е ясно.

[camelopard1]

Имам нов въпрос от една доста елементарна задача:
Намерете:
tgx=--[tex]\sqrt{3}[/tex], аз го намирам x=2п/3 + kп, но отговора в учебника е x=-п/3 +kп

cotgx=0, аз намирам x=п/2 +kп, то пише x=(2k +1).п/2

cotg2x=--[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex], моят отговор е x=п/3 + 2kп, а в учебник е даден x=-п/6 +2kп


Моля за помощ.

[monika_at]

Първите две са ти верни. За 1) няма значение какъв ще е елементарният ъгъл. Дали [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] или [tex]-\frac{\pi}{3}[/tex].
2) Разкрий скобите от отговора и ще получиш твоето решение.

3) Грешна ти е. [tex]cotg2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=>2x=-\frac{\pi}{3} +k\pi=>x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}[/tex]

[camelopard1]

Благодаря за отговорите.

Нов въпрос ми изникна.

Вижте това, което съм оградил в червено, не разбирам от къде идва това, защо не ми е ясно и ще се радвам ако някой ми обясни.

[camelopard1]

Изникна ми още един въпрос. Кой ъгъл е прилежащ в триъгълника и на колко е равен. Извън триъгълника съм наясно, но не ми е много ясно вътре в него.