Въпрос за правилна триъгълна пирамида...

[blag]

Здравейте! Понеже годините ми не са малко, а нуждата ми от отговор на следния въпрос също е голяма, обръщам се към форума за помощ.

В правилна триъгълна пирамида околните ръбове сключват помежду си ъгъл 105°. Какъв е ъгълът м/у височината на пирамидата и околните ръбове.

Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между височината на пирамидата и околния ръб.
Околен ръб [tex]b[/tex]
основен ръб [tex]a[/tex],
височината на основата [tex]a\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
проекцията на околния ръб върху основата е [tex]\frac{2}{3}a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
Следователно
[tex]sin\varphi =\frac{a\sqrt{3}}{3b} \,\ (\ast)[/tex]
С една косинусова теорема
[tex]a^2=b^2+b^2-2b.bcos105^\circ[/tex]
и като знаем, че
[tex]cos105^\circ=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]
намираме
[tex]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\sqrt{8+\sqrt{6}-\sqrt{2}}[/tex]
Заместваме в [tex]\,\ (\ast)[/tex]
и получаваме
[tex]sin\varphi =\frac{1}{6}\sqrt{3\sqrt{2}+8\sqrt{3}-\sqrt{6}} \,\ \approx 0,6593254 \,\ \Rightarrow \varphi \approx 41^\circ14'54'',3878[/tex]

[blag]

Благодаря Ви много за съдействието. Все пак мисля, че поради някаква неяснота в условието (не съм специалист и вероятно терминологията ми куца) резултатът не е този, който би трябвало да бъде. Според скромните ми познания не е възможно м/у околните ръбове (3 на брой) ъгълът да е 105°, а ъгълът м/у околен ръб и височина да е ≈41°.