Редица от числа

[Nathi123]

Редицата от числа [tex]a_{1 },a_{2 },a_{3 }...[/tex] се определя по следния начин : [tex]a_{1 } = 2 ,
a_{n+1 }=\begin{cases} a_{n }+2 , ако n - нечетно\\ 2a_{n }, ако n - четно \end{cases}[/tex] .
Да се намерят[tex]a_{2015 }[/tex] и [tex]a_{2016 }[/tex] .

[ptj]

Да разгледаме само редицата от нечетни членове: [tex]\{b_n\}: b_n=a_{2n+1}=2(a_{2n-1}+2)=2(b_{n-1}+2)[/tex]
Първия и член е [tex]b_1=2[/tex].
Нека разгледаме първите няколко члена на редицата [tex]\{b_n\}[/tex]:
[tex]b_2=2(2+2)=2^3[/tex]
[tex]b_3=2(2^3+2)=2^4+2^2[/tex]
[tex]b_4=2(2^4+2^2+2)=2^5+2^3+2^2[/tex]
[tex]b_5=2(2^5+2^3+2^2+2)=2^6+2^4+2^3+2^2[/tex]

Ако се загледате - получава непълна сума на първите [tex]n+2[/tex] степени на 2 (от [tex]0-[/tex]ва до [tex](n+1)-[/tex]ва), но винаги липсват [tex]2^n,2^1[/tex] и [tex]2^0[/tex].

Тогава [tex]b_n=\bigg(\sum_{k=0}^{n+1} k^n\bigg) -2^n-2^1-2^0=(2^{n+2}-1)-2^n-3=2^{n+2}-2^n-4[/tex]

[tex]a_{2015}=b_{1007}=2^{1009}-2^{1007}-4[/tex]
[tex]a_{2016}=2a_{2015}=2^{1010}-2^{1008}-8[/tex]

П.П. Друг вариант на решение е с характеристични уравнения на числови редици.

[ptj]

Малка корекция-
полагането трябва да е : [tex]b_n=a_{2n-1}[/tex]

Затова коректния краен отговор е:
[tex]а_{2015}=b_{1008}=2^{1010}-2^{1008}-4[/tex]
[tex]a_{2016}=2a_{2015}=2^{1011}-2^{1009}-8[/tex]

[Nathi123]

С малко неточност при записването : [tex]b_{n } = \sum_{k=0}^{n+1 }2^k -2^{n} - 2^{1} - 2^{0}[/tex] и [tex]a_{2016 } = a_{2015 }+2[/tex] (2015 е нечетно число.) Също доказателство на предположението за изразяването на [tex]b_{n }[/tex],може би по индукция.