Функция

[Zarrie]

Нека [tex]f(x)=x^2-2mx+8 , m=? \rightarrow f(x) \ge 0 \forall x \in \mathcal{Z}, m \in \mathcal{R}[/tex]

[mail_dinko]

Функцията има положителна стойност при положителен коефициент пред [tex]x^2[/tex] и отрицателна дискриминанта.
Тъй като пред [tex]x^2[/tex] имаме +1, то остава да изчислим дискриминантата:
[tex]y=x^2 - 2mx+8[/tex]
[tex]x^2 - 2mx+8=0[/tex]
[tex]a=1>0[/tex]
[tex]b=-2m--->k=-m[/tex]
[tex]c=8[/tex]
[tex]D=k^2-ac=m^2-8[/tex]
За да е изпълнено условието
[tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ m^2-8<0 \end{array}[/tex]
[tex]m^2- ( 2 \sqrt {2}) ^2<0[/tex]
[tex](m-2 \sqrt {2}) (m+2 \sqrt {2}) <0[/tex]
[tex]m_ {1,2}= \pm 2 \sqrt {2}[/tex]
[tex]m \in (-2 \sqrt {2} ; 2 \sqrt {2})[/tex]

[Zarrie]

Не виждам къде фигурира частта от условието, че [tex]f(x) \ge 0 \forall x[/tex][tex]\in \mathcal{Z}[/tex]

[Nathi123]

1. сл. D<0 [tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]\forall x \in R \Rightarrow за \forall x \in Z.[/tex][tex]\Leftrightarrow m\in (-2\sqrt{2},2\sqrt{2})[/tex]
( D= [tex]m^{2}-8 <0 \Leftrightarrow m\in(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})[/tex])
2. сл. Ако D=0 [tex]\Rightarrow f(x) \ge 0[/tex] за [tex]\forall x\in R \Rightarrow и за \forall x\in Z[/tex] т.е. [tex]m = -2\sqrt{2}\cup m = 2\sqrt{2}[/tex] са решения на задачата. [tex]m\in [-2\sqrt{2},2\sqrt{2}][/tex]
3.сл. Ако D>0 [tex]\Rightarrow f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,x_{1 }] \cup [x_{2 },\infty) \Rightarrow[/tex] неравенството ще е изпълнено за [tex]\forall x\in Z[/tex] ,ако [tex]І x_{1 } - x_{2 } І < 1 \Leftrightarrow ( x_{1 } - x_{2 })^{2}\le1 \Leftrightarrow ( x_{1 } + x_{2 })^{2} - 4 x_{1 }x_{2 }\le1 \Leftrightarrow m\in [-\frac{\sqrt{33}}{2},\frac{\sqrt{33}}{2})[/tex] и D>0[tex]\Rightarrow m\in [-\frac{\sqrt{33}}{2}, -2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2},\frac{\sqrt{33}}{2}][/tex] . Но в този случай ,ако [tex]x_{1 }<x_{2 }[/tex] ,то [tex][x_{1 },x_{2 }][/tex] не трябва да съдържа цяло число.
а) Ако m[tex]\in (2\sqrt{2},\frac{\sqrt{33}}{2}]\Rightarrow m\in (2,3)[/tex] и [tex]x_{1 }<m<x_{2 }[/tex] [tex][x_{1 },x_{2 }][/tex] няма да съдържа цяло число,ако [tex]2 < x_{1 } <m < x_{2 } <3\Leftrightarrow \begin{cases} m\in (2,3) \\ f(2) >0\\ f(3)>0 \\ m\in (2\sqrt{2},\frac{\sqrt{33}}{2}]\end{cases} \Leftrightarrow m\in (2\sqrt{2},\frac{17}{6})[/tex]. Аналогично се разглежда случая при [tex]m \in [ - \frac{33}{2},-2\sqrt{2}).\Rightarrow m\in ( - \frac{17}{6},-2\sqrt{2}) \Rightarrow m\in (-\frac{17}{6},\frac{17}{6}).[/tex]