Лице на триъгълник

[nadeva]

Моля за малко помощ по следната задача:
Даден е триъгълник АВС с лице 84 кв.см., радиус на описаната окръжност около триъгълника е 65/8см, радиуса на вписаната в триъгълника окръжност е 4 см. Да се намери страната АВ.

[Knowledge Greedy]

Отговорите са три:
AB=13
AB=14
AB=15.

[nadeva]

Да отговорите са толкова, но как се стига до тях?

[Knowledge Greedy]

Точно преди 40 години съм измислил тази задача. Не знаех решението ѝ, а скоро разбрах, че е измислена преди да се родя и затова загубих интерес. Сега мога да Ви кажа решението, но ми е интересно от къде я научихте.
Може и като лично съобщение.

[Knowledge Greedy]

От формулата [tex]S=\frac{abc}{4R} \,\ \Rightarrow \,\ abc=2730[/tex]
От формулата [tex]S=pr \,\ \Rightarrow \,\ a+b+c=42[/tex]
Хероновата формула и [tex]S=pr[/tex] дават [tex](p-a)(p-b)(p-c)=336[/tex]
В последното разкриваме скобите, заместваме с известните изрази по-горе и получаваме [tex]ab+bc+ca=587[/tex]
За решаването на системата
[tex]\begin{array}{|l} a+b+c=42 \\ ab+bc+ca=587 \\ abc=2730 \end{array}[/tex]
използваме обратна теорема на Виет.
Нека [tex]P(x)[/tex] е полиномът, чиито корени са [tex]a, \,\ b[/tex] и [tex]c[/tex].
[tex]P(x)=x^3-42x^2+587x-2730[/tex]
Уравнението [tex]x^3-42x^2+587x-2730=0[/tex] решаваме със схемата на Хорнер.

Успех, nadeva!

[nadeva]

Много благодаря!
Задачата която сте измислил е хубава, но има страшно много сметки. Аз лично предпочитам по логически задачи.
Благодаря отново!