Тестова задача от сборник на ТУ-София.

[kmitov]

Произведението на всички реални корени на уравнението $2(x^2+x+1)^2-15(x-1)^2=7(x^3-1)$ е равно на: Отговорът е $-1/2$. Не можах да го
видя, че е така.

[monika_at]

[tex]2(x^2+x+1)^2-7(x-1)(x^2+x+1)-15(x-1)^2[/tex] Делим почленно на [tex](x-1)^2[/tex]и полгаме [tex]\frac{x^2+x+1}{x-1}=t[/tex].

Тогава [tex]2t^2-7t-15=0=>t_1=5; t_2=-\frac{3}{2}[/tex]Връщаме се в полагането. Уравнението [tex]\frac{x^2+x+1}{x-1}=5[/tex] няма реални корени, но второто има.

[tex]\frac{x^2+x+1}{x-1}=-\frac{3}{2}=>2x^2+5x-1=0[/tex] От втората формула на Виет=>[tex]x_1.x_2=-\frac{1}{2}[/tex]

[kmitov]

Благодаря!