Задача от примерна тема по Математика 2 в СУ

[emilsim]

Задача 7.
В окръжност е вписан четириъгълник ABCD със страни AB = 7 , CD =1 и
взаимно перпендикулярни диагонали AC и BD . Да се намерят дължините на страните
AD и BC , така че лицето на четириъгълника да е възможно най-голямо.

Не можах да разбера нищо за този четириъгълник. Някаква подсказка за него?

[Knowledge Greedy]

За четириъгълник с перпендикулярни диагонали имаше такова свойство
[tex]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2[/tex]
Теорема на Птолемей дава
[tex]AC.BD=AD.BC+AB.CD[/tex]
Лицето на четириъгълник с перпендикулярни диагонали е
[tex]S=\frac{1}{2}AC.BD[/tex]

Да означим [tex]BC=x[/tex] и [tex]AD=y[/tex]
Търсим максимума на функцията
[tex]S(x,y)=\frac{1}{2}(xy+7)[/tex]
при условие [tex]x^2+y^2=50[/tex]

От неравенство между средно геометрично и средно квадратично
[tex]\sqrt{xy}\le\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}[/tex]
директно получаваме, че [tex]maxS=16[/tex] - при [tex]x=y=5[/tex]

[emilsim]

Много благодаря за решението!