Система

[Nathi123]

Решете системата [tex]\begin{array}{|l} x = \frac{2z^{2}}{1+z^{2}} \\ y = \frac{2x^{2}}{1 + x^{2}} \\ z = \frac{2y^{2}}{1 + y^{2}} \end{array}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Едно решение очевидно е [tex](x,y,z)=(0,0,0)[/tex]
Нека сред неизвестните поне едно е различно от нула (значи положително). Следователно и останалите са положителни.
Записваме системата във вида
[tex]\left|\begin{matrix}
z+\frac{1}{z} & =\frac{2z}{x} \\
x+\frac{1}{x} & =\frac{2x}{y} \\
y+\frac{1}{y} & =\frac{2y}{z}
\end{matrix}\right .[/tex]
Левите страни са сборове от реципрочни положителни числа, следователно са с минимална стойност [tex]2[/tex].
Ето защо
[tex]\left|\begin{matrix}
\frac{2z}{x}\ge 2\\
\frac{2x}{y}\ge2 \\
\frac{2y}{z}\ge 2
\end{matrix}\right .[/tex]
Системата неравенства е противоречива, ако дори само в едно от неравенствата има строго неравенство. Проверката с [tex]x=y=z[/tex] дава още едно решение: [tex](x,y,z)=(1,1,1)[/tex]