Разстоянието от центъра на вписаната в триъгълника окръжност

[gradio96]

Може ли помощ за една задачка:
Катетите на правоъгълен триъгълник ABC са с дължина 15 см. и 20 см. Да се намери разстоянието от центъра на вписаната в триъгълника окръжност до височината към хипотенузата.(Също на чертежа е показано, че отсечката, която свързва центъра на вписаната окръжност с хипотенузата образува ъгъл от 90 градуса, както и отсечката свързваща центъра на вписаната с височината също образува прав ъгъл)
Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Триъгълник_с_вписана_окръжност.png (18.36 KiB) Прегледано 705 пъти

На чертежа $CH=h$ е височината към хипотенузата $AB$, т.$O$ е центърът на вписаната окръжност, $OD$ е търсеното разстояние, $CL$ и $AO$ са ъглополовящи, съответно на ъгъл $ACB$ и $CAB$, $OM=DH=r$ - радиус на вписаната окръжност.

По Питагоровата теорема намираме хипотенузата $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=25$ cm. От лицето на триъгълника $S=AB.h:2=BC.AC:2 \Rightarrow h=\frac{AC.BC}{AB}=\frac{20.15}{25}=12$ cm. От друга страна $S=p.r=\frac{AB+BC+AC}{2}r=150 \Rightarrow r= \frac{150}{AB+BC+AC}=5$ cm.
Разглеждаме подобните триъгълници $ODC$ и $LMO$, $CD=h-r=7$, $OM=r=5$ откъдето следва, че страните им се отнасят както $7:5$, т.е. $OD:LM=7:5$.
От свойството на ъглополовящата имаме $AL:LB=20:15$, след извършване на действията имаме $AL=\frac{100}{7}$, $BL=\frac{75}{7}$.
За [tex]\Delta BCH[/tex] по Питагорова теорема намираме $BH=9$ и тогава $LH=\frac{75}{7} - 9=\frac{12}{7}$. Полагаме $OD=MH=7y$, $LM=5y$, $5y+7y=\frac{12}{7}, 12y=\frac{12}{7} \Rightarrow y = \frac{1}{7}, OD=7y=1$ cm