Отношението на лицата на два триъгълника

[emil3993]

Увод:
Здравейте математици! Искам да попитам как мога да реша тази задача?

Условие:
Страните на ∆ ABC са AB = c , AC = b и CB = a. Вътрешната ъглополовяща на ∠ ACB пресича описаната около ∆ ABC окръжност в т. L . Да се намери отношението на лицата на ∆ ABL и ∆ ABC.

Решение:
[tex]\frac{c^{2}}{(a+b+c)(a+b-c)}[/tex]

Заключение:
Благодаря предварително много. Приятен ден.

[kmitov]

Не е ли $4 c^2$ в числителя? Аз така го изкарах, ако не съм сгрешил.

[emil3993]

Проверих отново и не е сбъркана, а и не би трябвало. (Това е 27 задача от ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ, ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 13 юли 2009 г. и ето ги линка http://stpetkov.com/kanstud/Novi/TU-New/Test_09_v1_july13_2009.pdf.) Би ли ми казал алгоритъма или начина, по който си стигнал до своето решение? Благодаря предварително.

[kmitov]

zad.png (24.84 KiB) Прегледано 400 пъти

$S_{ABC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha$

$\cos\alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$c^2=2x^2-2x^2\cos \beta$

$\alpha +\beta=180^0$

$x^2=\frac{c^2}{2-2\cos \beta}=\frac{c^2}{2+2\cos \alpha}$

$S_{ALC}=\frac{x^2}{2}\sin \beta=\frac{x^2}{2}\sin \alpha$.

Tака $S_{ABC}:S_{ALC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha:\frac{x^2}{2}\sin \alpha=\frac{ab}{x^2}=\frac{ab(2+2\cos \alpha)}{c^2}=\frac{2ab}{c^2}(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{c^2}$

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex].
Явно [tex]LM=R-Rcos\gamma[/tex] и тогава [tex]S_{\Delta ABL}=\frac{AB.LM}{2}=\frac{cR(1-cos\gamma)}{2}[/tex]

За лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] ще използваме едно следствие от косинусова теорема .
[tex]c^2=(a+b)^2-2ab(1+cos\gamma)[/tex]
От него
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}absin\gamma=\frac{(a+b)^2-c^2}{4(1+cos\gamma)}.sin\gamma[/tex]

Частното става [tex]\frac{S_{\Delta ABL}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{cR(1-cos\gamma)}{2}.\frac{4(1+cos\gamma)}{[(a+b)^2-c^2]sin\gamma}=\frac{c.2Rsin\gamma}{(a+b+c)(a+b-c)}[/tex], което е точно т.к.т.д - с една синусова теорема.

[emil3993]

zad.png

$S_{ABC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha$

$\cos\alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$c^2=2x^2-2x^2\cos \beta$

$\alpha +\beta=180^0$

$x^2=\frac{c^2}{2-2\cos \beta}=\frac{c^2}{2+2\cos \alpha}$

$S_{ALC}=\frac{x^2}{2}\sin \beta=\frac{x^2}{2}\sin \alpha$.

Tака $S_{ABC}:S_{ALC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha:\frac{x^2}{2}\sin \alpha=\frac{ab}{x^2}=\frac{ab(2+2\cos \alpha)}{c^2}=\frac{2ab}{c^2}(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{c^2}$

Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex].
Явно [tex]LM=R-Rcos\gamma[/tex] и тогава [tex]S_{\Delta ABL}=\frac{AB.LM}{2}=\frac{cR(1-cos\gamma)}{2}[/tex]

За лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] ще използваме едно следствие от косинусова теорема .
[tex]c^2=(a+b)^2-2ab(1+cos\gamma)[/tex]
От него
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}absin\gamma=\frac{(a+b)^2-c^2}{4(1+cos\gamma)}.sin\gamma[/tex]

Частното става [tex]\frac{S_{\Delta ABL}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{cR(1-cos\gamma)}{2}.\frac{4(1+cos\gamma)}{[(a+b)^2-c^2]sin\gamma}=\frac{c.2Rsin\gamma}{(a+b+c)(a+b-c)}[/tex], което е точно т.к.т.д - с една синусова теорема.

Благодаря много.

[emil3993]

zad.png

$S_{ABC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha$

$\cos\alpha = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$c^2=2x^2-2x^2\cos \beta$

$\alpha +\beta=180^0$

$x^2=\frac{c^2}{2-2\cos \beta}=\frac{c^2}{2+2\cos \alpha}$

$S_{ALC}=\frac{x^2}{2}\sin \beta=\frac{x^2}{2}\sin \alpha$.

Tака $S_{ABC}:S_{ALC}=\frac{ab}{2}\sin \alpha:\frac{x^2}{2}\sin \alpha=\frac{ab}{x^2}=\frac{ab(2+2\cos \alpha)}{c^2}=\frac{2ab}{c^2}(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{c^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{c^2}$

Защо триъгълник ABL e равнобедрен?

[Davids]

Защо триъгълник ABL e равнобедрен?

Понеже точка L принадлежи на ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex]. Оттам следва, че дъгите AL и LB са равни, откъдето имаш че [tex]\angle BAL[/tex] и [tex]\angle ABL[/tex] са срещу равни дъги, откъдето аналогично ти следва, че триъгълникът е равнобедрен.

[emil3993]

Защо триъгълник ABL e равнобедрен?

Понеже точка L принадлежи на ъглополовящата на [tex]\angle C[/tex]. Оттам следва, че дъгите AL и LB са равни, откъдето имаш че [tex]\angle BAL[/tex] и [tex]\angle ABL[/tex] са срещу равни дъги, откъдето аналогично ти следва, че триъгълникът е равнобедрен.

Благодаря.