Странна задача

[emil3993]

Здравейте матиматици! (Това е 29 задача от ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ, ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 13 юли 2009 г. и ето ги линка http://stpetkov.com/kanstud/Novi/TU-New/Test_09_v1_july13_2009.pdf). Как се решава тази задача?
Задача: [tex](k-3)x^{2}+(2k-1)x+k+1=0[/tex], където к е реален параметър. Да се намерят стойностите на параметъра k, за които корените на уравнението са с различни знаци.
Отговор: k[tex]\epsilon(-1;3)[/tex]
Моята мисъл:
a=k-3
b=2k-1
c=k+1
...квадратно уравнение
болен мозък?

[Davids]

По Виет имаш, че
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2k-1}{k-3} = \frac{2k-1}{3-k} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k+1}{k-3} \end{array}[/tex]
За да са ти двата корена с различни знаци, трябва
[tex]x_1x_2 < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{k+1}{k-3} < 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} k + 1 < 0 \\ k - 3 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k + 1 > 0 \\ k - 3 < 0 \end{array}[/tex]
Първата система няма решение, а от втората ти излиза решението [tex]\begin{array}{|l} k > -1 \\ k < 3 \end{array} \Leftrightarrow k\in(-1;3)[/tex]

[emil3993]

По Виет имаш, че
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2k-1}{k-3} = \frac{2k-1}{3-k} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k+1}{k-3} \end{array}[/tex]
За да са ти двата корена с различни знаци, трябва
[tex]x_1x_2 < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{k+1}{k-3} < 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} k + 1 < 0 \\ k - 3 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k + 1 > 0 \\ k - 3 < 0 \end{array}[/tex]
Първата система няма решение, а от втората ти излиза решението [tex]\begin{array}{|l} k > -1 \\ k < 3 \end{array} \Leftrightarrow k\in(-1;3)[/tex]

Благодаря.

[emilsim]

В решението на @Davids никъде не пише нещо за дискриминантата, ами ако е отрицателна в тези стойности на k? По случайност в тези стойности е положителна. Да, @nobody е прав, това не съм го съобразил...
Уравнението може да се реши и с теоремите за "Разпределение на корените на квадратни уравнения върху числовата ос"
означаваш f(x) = (k−3)[tex]x^{2}[/tex]+(2k−1)x+k+1 и е нужно нулата да се намира между двата корена, за да бъдат с различни знаци, това е изпълнено при: a.f(0)<0

a= k-3
f(0) = k+1
(k-3)(k+1)<0
k[tex]\in[/tex] (-1;3)

[nobody]

Когато [tex]x_{1 }[/tex][tex]x_{2 }[/tex] < 0 дискриминантата е > 0

[emil3993]

По Виет имаш, че
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2k-1}{k-3} = \frac{2k-1}{3-k} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k+1}{k-3} \end{array}[/tex]
За да са ти двата корена с различни знаци, трябва
[tex]x_1x_2 < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{k+1}{k-3} < 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} k + 1 < 0 \\ k - 3 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k + 1 > 0 \\ k - 3 < 0 \end{array}[/tex]
Първата система няма решение, а от втората ти излиза решението [tex]\begin{array}{|l} k > -1 \\ k < 3 \end{array} \Leftrightarrow k\in(-1;3)[/tex]

Откъде сме сигурни, че ще има два корена с различни знаци? И откъде се взима теорията или правилата за получаването на тези системи?

[Davids]

Просто по формулите на Виет (учат се в осми или девети клас, забравих вече кога беше...). А ако произведението от корените ти все пак дава отрицателно число, то значи две пресечни точки с абцисната ос съществуват и следователно дискриминантата е положителна.

[emil3993]

[tex]x_1x_2 < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{k+1}{k-3} < 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} k + 1 < 0 \\ k - 3 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k + 1 > 0 \\ k - 3 < 0 \end{array}[/tex]

Добре защо твоите системи са по този начин образувани на кръст (имам предвид знаците "<" и ">") и как ставо това?, а не по този начин:

[Davids]

Защото лявата страна на равенството ти е частно с парсметър и в чисителя, и в знаменателя. Следователно за да бъде това частно по-малко от нула, трябва двете да са с различен знак. Което е точно каквото системата ти представлява.

[emil3993]

Защото лявата страна на равенството ти е частно с парсметър и в чисителя, и в знаменателя. Следователно за да бъде това частно по-малко от нула, трябва двете да са с различен знак. Което е точно каквото системата ти представлява.

Благодаря за отговора. Извинявай, но не те разбирам, може ли по-подробно и ясно обяснение.

[Davids]

Защото лявата страна на равенството ти е частно с парсметър и в чисителя, и в знаменателя. Следователно за да бъде това частно по-малко от нула, трябва двете да са с различен знак. Което е точно каквото системата ти представлява.

Благодаря за отговора. Извинявай, но не те разбирам, може ли по-подробно и ясно обяснение.

Знаеш за формулите на Виет, свързани със зависимостите между двата корена на квадратното уравнение, нали? Ако не са ти вече под кожата, може да потърсиш информация в интернет. Основната идея е, че ако имаш два корена на уравнение, то за тях винаги е вярно:
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} \end{array}[/tex]
Където [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са съответните коефициенти по стандартните означения.
В нашия случай имаме:
[tex]x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k + 1}{k - 3}[/tex]
Това ти е ключовата зависимост между двата корена, която ти решава задачата. Ето тук идва момента, че задачата ти иска два (очевидно различни) корена с различни знаци. Вече можем да излезем от рамките на уравнението и да минем на чиста алгебра.

Скрит текст: покажи

Ако имаш две различни числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и искаш да са с различни знаци, то трябва произведението им да е по-малко от нула (тъй като отрицателно по положително винаги дава отрицателно). Във всеки един различен случай произведението не може да е по-малко от нула, тъй като две положителни дават положително произведение, точно както и две отрицателни, а ако коренът е един двоен - то всяко число на втора степен дава положително число.

Следователно, за да са [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] с различни знаци, трябва тяхното произведение да е отрицателно.
Оттук вече ти се получава уравнението:
[tex]\frac{k + 1}{k - 3} < 0[/tex]
Чието решение вече се основава на абсолютно същата логика, само че вместо умножаване, действието е деление.

Скрит текст: покажи

Чисто теоретическа вметка с цел онагледяване на казаното горе:
Ако имаш [tex]\frac{a}{b} < 0[/tex], то (както казахме) трябва да са с различни знаци.
Следната система ти представлява точно това по най-чистата и семпла логика на алгебрата :
[tex]\begin{array}{|l} a < 0 \\ b > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a > 0 \\ b < 0 \end{array}[/tex]
Преведено: Или [tex]a[/tex] е по-голямо от нула и [tex]b[/tex] е по-голямо, или обратното. Всеки от двата варианта ни удовлетворява, така че решението ни е обединение от двата интервала, т.е. и двете са възможни (връзка с двоичната логика - отношението на двете системи се нарича дизюнкция ).
Точно това съм направил горе.

[emil3993]

Благодаря.

[123a]

А защо просто не ползвате метода на интервалите?

[Davids]

А защо просто не ползвате метода на интервалите?

Девети клас, не съм стигнал до там... Иначе този начин си е достатъчно семпъл

[emil3993]

Благодаря много.