Задача - ПУ, Изпит 2016

[Aizui]

За правоъгълния триъгълник ABC с катети BC = a и AC = b е построена права, перпендикулярна на хипотенузата, която разделя триъгълник ABC на триъгълник ANM и четириъгълник NBCM. Ако S ANM = S NBCM, то намерете лицето на описания около четириъгълника NBCM кръг.

[KOPMOPAH]

За този четириъгълник отсечката $BM$ се явява диаметър на описаната окръжност, следователно търсеното лице е $S=\frac{\pi.BM^2}{4}$
Започваме с това, че $\triangle ANM \approx \triangle ABC \Rightarrow AN=\frac{b}{a}NM$. По условие $S_{ANM}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{ab}{4} \Rightarrow AN.BN=\frac{ab}{2}$.
Като вземем предвид съотношението на $AN$ и $NM$ от подобните триъгълници, окончателно получаваме
$AN=\frac{b\sqrt{2}}{2}$, $NM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $NB=\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b\sqrt{2}}{2}$
За $\triangle BNM$ по Питагорова теорема имаме $BM^2=NB^2+NM^2=a^2+b^2-\cancel{2}\frac{b\sqrt{2}}{\cancel{2}}\sqrt{a^2+b^2}+\frac{b^2}{2}+\frac{a^2}{2}=\frac{3(a^2+b^2)-2b\sqrt{2(a^2+b^2)}}{2}$ и след заместване във формулата $S=\frac{\pi.BM^2}{4}$ се получава окончателно
$S=\frac{\pi(3(a^2+b^2)-2b\sqrt{2(a^2+b^2))}}{8}$

[Aizui]

мерси за подробното решение!

А самия чертеж някой да има идея как да го направя? Нещо не ми се получава, хаха

[Добромир Глухаров]

Описана окръжност.png (20.12 KiB) Прегледано 215 пъти