Радиус на описана окръжност около равнобедрен триъгълник

[emil3993]

Здравейте матиматици! Стигнах доста близко. Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Това, което ми хрумва на мен, е малко обаче изкривено
Първо трябва да си забележиш, че [tex]sin\alpha = \frac{4}{a}[/tex] (можеш да си го направиш за всички функции, лесно се виждат)
После правиш формулата за лице веднъж с две страни и синус на ъгъла между тях и веднъж с радиус на описната:
[tex]S = \frac{absin\alpha}{2} = \frac{a^2b}{4R}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2\cancel{4}.R.\cancel{a}.\cancel{b}sin\alpha = \cancel{2}a^{\cancel{2}}\cancel{b}[/tex]
[tex]2Rsin\alpha = a[/tex]
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}[/tex]
Достигам до тук и това, което остава да направя, е следното :
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}|.2 = \frac{2a}{4sin\alpha} = 2.\frac{a}{4}:sin\alpha = 2.\frac{1}{sin\alpha}:sin\alpha = \frac{2}{sin^2\alpha}[/tex]
Имам сериозни съмнения, че това решение е универсално и по учебник, но с една идея импровизация поради липса на опит се получава

[Davids]

Друг вариант би бил да си развиеш всички поддточки с данните от задачата докато не постигнеш алгебричен вид, и после да си намериш радиуса пак алгебрично. Тук обаче възможността за несъвпадение на вариантите е доста голяма И все пак, ако подходим алгебрично към радиуса, можем да го намерим по много начини, най-бързият според мен е следният:
Използваш класическата формула за лице и формулата с радиус на описаната. Лично аз бележа бедрата с [tex]а[/tex], а основата с [tex]b[/tex].
И така:
[tex]S = \frac{bh}{2} = \frac{a^2b}{4R}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\cancel{4}2.\cancel{b}}{\cancel{2}} = \frac{a^2\cancel{b}}{4R}[/tex]
[tex]8R = a^2[/tex]
[tex]R = \frac{a^2}{8}[/tex]
Което в нашия случай е точно стойността на [tex]\frac{2}{sin^2\alpha} = \frac{2}{\frac{16}{a^2}} = \frac{2a^2}{16} = \frac{a^2}{8}[/tex]. Но този подход би отнел малко повече време

[emil3993]

Това, което ми хрумва на мен, е малко обаче изкривено
Първо трябва да си забележиш, че [tex]sin\alpha = \frac{4}{a}[/tex] (можеш да си го направиш за всички функции, лесно се виждат)
После правиш формулата за лице веднъж с две страни и синус на ъгъла между тях и веднъж с радиус на описната:
[tex]S = \frac{absin\alpha}{2} = \frac{a^2b}{4R}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2\cancel{4}.R.\cancel{a}.\cancel{b}sin\alpha = \cancel{2}a^{\cancel{2}}\cancel{b}[/tex]
[tex]2Rsin\alpha = a[/tex]
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}[/tex]
Достигам до тук и това, което остава да направя, е следното :
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}|.2 = \frac{2a}{4sin\alpha} = 2.\frac{a}{4}:sin\alpha = 2.\frac{1}{sin\alpha}:sin\alpha = \frac{2}{sin^2\alpha}[/tex]
Имам сериозни съмнения, че това решение е универсално и по учебник, но с една идея импровизация поради липса на опит се получава

Благодаря.

[emil3993]

Това, което ми хрумва на мен, е малко обаче изкривено
Първо трябва да си забележиш, че [tex]sin\alpha = \frac{4}{a}[/tex] (можеш да си го направиш за всички функции, лесно се виждат)
После правиш формулата за лице веднъж с две страни и синус на ъгъла между тях и веднъж с радиус на описната:
[tex]S = \frac{absin\alpha}{2} = \frac{a^2b}{4R}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2\cancel{4}.R.\cancel{a}.\cancel{b}sin\alpha = \cancel{2}a^{\cancel{2}}\cancel{b}[/tex]
[tex]2Rsin\alpha = a[/tex]
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}[/tex]
Достигам до тук и това, което остава да направя, е следното :
[tex]R = \frac{a}{2sin\alpha}|.2 = \frac{2a}{4sin\alpha} = 2.\frac{a}{4}:sin\alpha = 2.\frac{1}{sin\alpha}:sin\alpha = \frac{2}{sin^2\alpha}[/tex]
Имам сериозни съмнения, че това решение е универсално и по учебник, но с една идея импровизация поради липса на опит се получава

Благодаря.