Сложна задача

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението. Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е (1+sina)/(1+cosa).

[Nathi123]

задача ,която ще се ползва в решението: При стандартните означения за страните на триъг.АВС,ако вписаната в него окръжност се допира до страната АВ = с в точка Р,то [tex]AP=p-c=\frac{b+c-a}{2},PB=p-b=\frac{a+c-b}{2}[/tex].Знаем,че центърът на вписаната в триъгълник окръжност е пресечната точка на ъглополовящите. По условие [tex]\angle ACB = 90^\circ, нека т.O_{1 }-[/tex] център на вписаната в[tex]\Delta АСМ[/tex] окръжност,а[tex]О_{2 }-[/tex] център на вписаната в [tex]\Delta ВСМ[/tex] окръжност. При правоъгълен триъгълник с хипотенуза АВ = с , медианата към хипотенузата СМ = [tex]\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}[/tex] . Нека вписаната в триъг. АСМ окръжност се допира до АМ в точка Р,а вписаната в триъг. ВСМ окръжност се допира до ВМ в точка Q.От триъг. [tex]O_{1 }PA\Rightarrow \frac{r_{1 }}{AP}=tg\frac{\alpha}{2}, AP=\frac{AM+AC-CM}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2} ( CM=AM=\frac{c}{2})\Rightarrow r_{1 }=\frac{b}{2}tg\frac{\alpha}{2}[/tex]. Аналогично [tex]r_{2 }=BQtg(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) ,
BQ=\frac{a}{2}\Rightarrow \frac{r_{1 }}{r_{2 }}=\frac{btg\frac{\alpha}{2}}{atg(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}} , ( \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha ), \frac{b}{a} = cotg \alpha \Rightarrow \frac{r_{1 }}{r_{2 }}=\frac{cotg\alpha.tg\frac{\alpha}{2}}{tg(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}})[/tex].

[Nathi123]

A=[tex]\frac{cotg\alpha.tg\frac{\alpha}{2}}{tg(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})}=\frac{tg\frac{\alpha}{2}(1 - tg^{2}\frac{\alpha}{2})(1 + tg\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}(1 - tg\frac{\alpha}{2})} = \frac{(1 + tg\frac{\alpha}{2})^{2}}{2}=\frac{( sin\frac{\alpha}{2}+cos\frac{\alpha}{2})^{2}}{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex]
A = [tex]\frac{cos^{2}\frac{\alpha}{2}+2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}+sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+sin\alpha}{1+cos\alpha}[/tex]

[Anubis]

Много по-лесно е да се използва зависимостта [tex]S = pr = \frac{ab \sin \gamma}{2}[/tex]. Означаваме [tex]AB=c[/tex]. Имаме

[tex](1) \, \, \, S_{\Delta AMC} = \frac{AM \cdot AC \cdot \sin \alpha}{2} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}; \, p_{\Delta AMC} = \frac{c(1+\cos\alpha)}{2} \Rightarrow r_{\Delta AMC} = \frac{S_{\Delta AMC}}{p_{\Delta AMC}} = \frac{c \sin 2\alpha}{4(1+\cos \alpha)} \\
(2) \, \, \, S_{\Delta BMC} = S_{\Delta AMC} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}; \, p_{\Delta BMC} = \frac{c(1+\sin \alpha)}{2} \Rightarrow r_{BMC} =
\frac{S_{\Delta BMC}}{p_{\Delta BMC}} = \frac{c \sin 2\alpha}{4(1+\sin \alpha)}[/tex].

Оттук получаваме [tex]\frac{r_{\Delta AMC}}{r_{\Delta BMC}} = \frac{1+\sin \alpha}{1+\cos \alpha}[/tex].

[emil3993]

Много по-лесно е да се използва зависимостта [tex]S = pr = \frac{ab \sin \gamma}{2}[/tex]. Означаваме [tex]AB=c[/tex]. Имаме

[tex](1) \, \, \, S_{\Delta AMC} = \frac{AM \cdot AC \cdot \sin \alpha}{2} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}; \, p_{\Delta AMC} = \frac{c(1+\cos\alpha)}{2} \Rightarrow r_{\Delta AMC} = \frac{S_{\Delta AMC}}{p_{\Delta AMC}} = \frac{c \sin 2\alpha}{4(1+\cos \alpha)} \\
(2) \, \, \, S_{\Delta BMC} = S_{\Delta AMC} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}; \, p_{\Delta BMC} = \frac{c(1+\sin \alpha)}{2} \Rightarrow r_{BMC} =
\frac{S_{\Delta BMC}}{p_{\Delta BMC}} = \frac{c \sin 2\alpha}{4(1+\sin \alpha)}[/tex].

Оттук получаваме [tex]\frac{r_{\Delta AMC}}{r_{\Delta BMC}} = \frac{1+\sin \alpha}{1+\cos \alpha}[/tex].

Откъде дойде (1)Samc=(c^2sin2a)/8?

[Anubis]

Ами нали [tex]AM=\frac{c}{2}[/tex] и [tex]\cos \alpha = \frac{AC}{c} \Rightarrow AC = c \cos \alpha[/tex]. Тогава

[tex]S_{\Delta AMC} = \frac{AC \cdot AM \cdot \sin \alpha}{2} = \frac{c}{2} \cdot c \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{4}[/tex].

Като използваме, че [tex]\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha[/tex], получаваме [tex]S_{\Delta AMC} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}[/tex]. Ако имаш въпроси, пиши ми.

[emil3993]

Ами нали [tex]AM=\frac{c}{2}[/tex] и [tex]\cos \alpha = \frac{AC}{c} \Rightarrow AC = c \cos \alpha[/tex]. Тогава

[tex]S_{\Delta AMC} = \frac{AC \cdot AM \cdot \sin \alpha}{2} = \frac{c}{2} \cdot c \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \frac{c^2 \sin \alpha \cos \alpha}{4}[/tex].

Като използваме, че [tex]\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha[/tex], получаваме [tex]S_{\Delta AMC} = \frac{c^2 \sin 2\alpha}{8}[/tex]. Ако имаш въпроси, пиши ми.

Благодаря много. Другото, което не стана ясно е pSamc и pSbmc(Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник.)