Лицето на на равнобедрен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението. Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Ще представя два варианта за решение едновременно. За тях са ни нужни обаче косинусът и тангенса на ъгъла (ще го кръстим [tex]\alpha[/tex]):
[tex]cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = ... = \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
[tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = ... = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Така, първо ще си използваме синуса от условието, за да намерим основата [tex]a[/tex], чрез дадената височина към бедрото [tex]h_b[/tex]:
[tex]\frac{h_b}{a} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{6}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow a = 6\sqrt{3}[/tex]

1) Вариант:
Сега ще спуснем височината към основата ([tex]h_a[/tex]) и ще кръстим половината от основата [tex]a[/tex] с [tex]x = 3\sqrt{3}[/tex]
И ползваме тангенса:
[tex]\frac{h_a}{x} = tg\alpha \Leftrightarrow \frac{h_a}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow h_a = \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex]
Сега остана да намерим лицето:
[tex]S = \frac{a.h_a}{2} = \frac{6\sqrt{3}.\frac{3}{2}\sqrt{6}}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}cm^2[/tex]

2) Вариант:
Ползваме косинуса, за да намерим бедрото [tex]b[/tex]:
[tex]\frac{x}{b} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}}{b} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow b = \frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex]
И намираш лицето с дадената височина от условието:
[tex]S = \frac{b.h_b}{2} = \frac{\frac{9}{2}\sqrt{2}.6}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}cm^2[/tex]

[emil3993]

Ще представя два варианта за решение едновременно. За тях са ни нужни обаче косинусът и тангенса на ъгъла (ще го кръстим [tex]\alpha[/tex]):
[tex]cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = ... = \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
[tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = ... = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Така, първо ще си използваме синуса от условието, за да намерим основата [tex]a[/tex], чрез дадената височина към бедрото [tex]h_b[/tex]:
[tex]\frac{h_b}{a} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{6}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow a = 6\sqrt{3}[/tex]

1) Вариант:
Сега ще спуснем височината към основата ([tex]h_a[/tex]) и ще кръстим половината от основата [tex]a[/tex] с [tex]x = 3\sqrt{3}[/tex]
И ползваме тангенса:
[tex]\frac{h_a}{x} = tg\alpha \Leftrightarrow \frac{h_a}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow h_a = \frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex]
Сега остана да намерим лицето:
[tex]S = \frac{a.h_a}{2} = \frac{6\sqrt{3}.\frac{3}{2}\sqrt{6}}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}cm^2[/tex]

2) Вариант:
Ползваме косинуса, за да намерим бедрото [tex]b[/tex]:
[tex]\frac{x}{b} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}}{b} = \frac{\sqrt{6}}{3} \Leftrightarrow b = \frac{9\sqrt{2}}{2}[/tex]
И намираш лицето с дадената височина от условието:
[tex]S = \frac{b.h_b}{2} = \frac{\frac{9}{2}\sqrt{2}.6}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}cm^2[/tex]

Основата не ли е c(AB)? Може ли чертеж, ще съм много благодарен?

[Davids]

Просто съм я кръстил [tex]a[/tex], дискомфортен навик. Иначе съм описал означенията, бедрото е [tex]b[/tex], а половината от основата е [tex]x[/tex]. Височините са ясни, чертежът е елементарен като цяло. Не съм у нас сега и не мога да го кача, но смятам, че ще се справиш и сам

[emil3993]

Просто съм я кръстил [tex]a[/tex], дискомфортен навик. Иначе съм описал означенията, бедрото е [tex]b[/tex], а половината от основата е [tex]x[/tex]. Височините са ясни, чертежът е елементарен като цяло. Не съм у нас сега и не мога да го кача, но смятам, че ще се справиш и сам

Благодаря отново, разбрах го.