Всички решения на уравнението

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението. Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е п/4

[Anubis]

Като се използва формулата за превръщане от произведение в сбор, се получава

[tex]\cos 6x = \cos 10x \Rightarrow \cos 6x - \cos 10x = 0[/tex].

След превръщане в произведение имаме [tex]\sin 2x \sin 8x = 0[/tex].

Сега [tex]\sin 8x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{1}\pi}{8}[/tex] и [tex]\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{2}\pi}{2}[/tex]. Тогава

[tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{1} \pi}{8} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \le k_{1} \le \frac{8}{3} < 3 \Rightarrow k_{1}=2[/tex], защото [tex]k_{1}[/tex] е цяло.

Аналогично [tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{2}\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} \le k_{2} \le \frac{2}{3}[/tex]. Вижда се, че няма такова [tex]k_{2}[/tex].

Така получаваме [tex]x = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}[/tex].

[emil3993]

Като се използва формулата за превръщане от произведение в сбор, се получава

[tex]\cos 6x = \cos 10x \Rightarrow \cos 6x - \cos 10x = 0[/tex].

След превръщане в произведение имаме [tex]\sin 2x \sin 8x = 0[/tex].

Сега [tex]\sin 8x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{1}\pi}{8}[/tex] и [tex]\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{2}\pi}{2}[/tex]. Тогава

[tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{1} \pi}{8} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \le k_{1} \le \frac{8}{3} < 3 \Rightarrow k_{1}=2[/tex], защото [tex]k_{1}[/tex] е цяло.

Аналогично [tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{2}\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} \le k_{2} \le \frac{2}{3}[/tex]. Вижда се, че няма такова [tex]k_{2}[/tex].

Така получаваме [tex]x = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}[/tex].

Защо cos10x-cos6x=0 <=> 2sin8x.sin2x =0?

[Anubis]

Това е формулата за превръщане от разлика в произведение. Има я в таблицата.

[emil3993]

Като се използва формулата за превръщане от произведение в сбор, се получава

[tex]\cos 6x = \cos 10x \Rightarrow \cos 6x - \cos 10x = 0[/tex].

След превръщане в произведение имаме [tex]\sin 2x \sin 8x = 0[/tex].

Сега [tex]\sin 8x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{1}\pi}{8}[/tex] и [tex]\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{k_{2}\pi}{2}[/tex]. Тогава

[tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{1} \pi}{8} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \le k_{1} \le \frac{8}{3} < 3 \Rightarrow k_{1}=2[/tex], защото [tex]k_{1}[/tex] е цяло.

Аналогично [tex]\frac{\pi}{4} \le \frac{k_{2}\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} \le k_{2} \le \frac{2}{3}[/tex]. Вижда се, че няма такова [tex]k_{2}[/tex].

Така получаваме [tex]x = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}[/tex].

Благодаря много, разбрах го.