Леко питане - подобни триъгълници

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли да знам по кои признаци се доказва, че триъгълник DBC с ABC. Благодаря предварително. Приятен ден.

[Anubis]

Без подобни триъгълници.

По теоремата за допирателна и секуща имаме [tex]BC^2 = BA \cdot BD[/tex].

Означаваме [tex]BD=y[/tex], тогава [tex]AD=\frac{144-y^2}{y}[/tex]. Нека [tex]\angle ADC=\varphi, \, \angle BDC=\pi-\varphi[/tex].

[tex]\Delta ADC: \, \, \, AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \varphi[/tex]

[tex]\Delta BCD: \, \, \, BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos (\pi-\varphi)[/tex]

След изключване на ъгъла получаваме квадратното относно [tex]y^2=u[/tex] уравнение

[tex](144-u)^2-45u=(144-u)(108-u) \Rightarrow u=64 \Rightarrow y=BD=8[/tex].

[Anubis]

С подобни триъгълници.

[tex]\angle DCB = \frac{\overline{DC}}{2}[/tex] (периферен); [tex]\angle DAC = \frac{\overline{DC}}{2}[/tex] (вписан)

Тъй като [tex]\angle ABC[/tex] е общ за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex], то те ще са подобни по първи признак. Имаме

(подредбата на буквите е съществена)

[tex]\Delta ABC \sim \Delta CBD \Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD} \Rightarrow \frac{12}{BD} = \frac{9}{6} \Rightarrow BD=8[/tex].

[Anubis]

Ето и един чертеж.

[emil3993]

С подобни триъгълници.

[tex]\angle DCB = \frac{\overline{DC}}{2}[/tex] (периферен); [tex]\angle DAC = \frac{\overline{DC}}{2}[/tex] (вписан)

Тъй като [tex]\angle ABC[/tex] е общ за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex], то те ще са подобни по първи признак. Имаме

(подредбата на буквите е съществена)

[tex]\Delta ABC \sim \Delta CBD \Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD} \Rightarrow \frac{12}{BD} = \frac{9}{6} \Rightarrow BD=8[/tex].

Благодаря много.