Геометрична и аритметична прогресия

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е 1/3

[Davids]

От подредбата на [tex]a, b, c[/tex] последователно в геометрична прогресия извеждаш уравнението:
[tex]\frac{a}{b} = \frac{b}{c}[/tex]
А от аритметичната прогресия имаш, че:
[tex]2b - a = 3c - 2b[/tex]

Следователно решаваш системата:
[tex]\begin{array}{|l} b^2 = ac \\ 4b = 3c + a \end{array}[/tex]

Тя се свежда до хомогенното уравнение:
[tex]9c^2 - 10ac + a^2 = 0[/tex]
Полагаш [tex]x = \frac{c}{a}[/tex]
И получаваш две решения:
[tex]x_1 = 1; x_2 = \frac{1}{9}[/tex]
Първият вариант автоматично ти отпада, защото в условието е казано, че разликата на геометричната прогресия не е цяло число, т.е. [tex]a[/tex] не може да дели [tex]c[/tex] без остатък, камо ли да е равно на него (т.е. разликата [tex]q = 1[/tex], което е цяло число). Така че разглеждаме втория случай:
[tex]\frac{c}{a} = \frac{1}{9}[/tex]
Но [tex]a[/tex] и [tex]c[/tex] се намират през един член в геометричната прогресия, като [tex]c = aq^2[/tex] е по-големият, следователно имаме:
[tex]\frac{c}{a} = \frac{aq^2}{a} = q^2 = \frac{1}{9}[/tex]
И окончателно: [tex]q = \frac{1}{3}[/tex]

[emil3993]

От подредбата на [tex]a, b, c[/tex] последователно в геометрична прогресия извеждаш уравнението:
[tex]\frac{a}{b} = \frac{b}{c}[/tex]
А от аритметичната прогресия имаш, че:
[tex]2b - a = 3c - 2b[/tex]

Следователно решаваш системата:
[tex]\begin{array}{|l} b^2 = ac \\ 4b = 3c + a \end{array}[/tex]

Тя се свежда до хомогенното уравнение:
[tex]9c^2 - 10ac + a^2 = 0[/tex]
Полагаш [tex]x = \frac{c}{a}[/tex]
И получаваш две решения:
[tex]x_1 = 1; x_2 = \frac{1}{9}[/tex]
Първият вариант автоматично ти отпада, защото в условието е казано, че разликата на геометричната прогресия не е цяло число, т.е. [tex]a[/tex] не може да дели [tex]c[/tex] без остатък, камо ли да е равно на него (т.е. разликата [tex]q = 1[/tex], което е цяло число). Така че разглеждаме втория случай:
[tex]\frac{c}{a} = \frac{1}{9}[/tex]
Но [tex]a[/tex] и [tex]c[/tex] се намират през един член в геометричната прогресия, като [tex]c = aq^2[/tex] е по-големият, следователно имаме:
[tex]\frac{c}{a} = \frac{aq^2}{a} = q^2 = \frac{1}{9}[/tex]
И окончателно: [tex]q = \frac{1}{3}[/tex]

Как полагаш х в хомогенното уравнение?

[Davids]

Решаваш хомогенно уравнение, преди да положиш [tex]x = \frac{c}{a}[/tex], трябва да разделиш двете страни на [tex]а^2[/tex]:
[tex]9c^2 - 10ac + a^2 = 0 |:a^2[/tex]
[tex]\Rightarrow 9(\frac{c}{a})^2 - 10\frac{c}{a} + \cancel{\frac{a^2}{a^2}} 1 = 0[/tex]

[emil3993]

Решаваш хомогенно уравнение, преди да положиш [tex]x = \frac{c}{a}[/tex], трябва да разделиш двете страни на [tex]а^2[/tex]:
[tex]9c^2 - 10ac + a^2 = 0 |:a^2[/tex]
[tex]\Rightarrow 9(\frac{c}{a})^2 - 10\frac{c}{a} + \cancel{\frac{a^2}{a^2}} 1 = 0[/tex]

Благодаря.