Стойностите на реалния параметър за две уравнения

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е a [tex]\in[/tex] (0;1)

[Davids]

Във второто уравнение няма участие на параметъра, така че броят на неговите решения ще е от значение при определянето на стойностите. То е биквадратно, следователно си го решаваш по традиционния начин (ще си го спестя) и достигаш до в случая четирите възможни решения: [tex]x = \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{2}[/tex]
Следователно ни трябват четири решения и на другото уравнение:
[tex]|x^2 + 2x| = a[/tex]
То се свежда до:
[tex]x^2 + 2x = a \cup x^2 + 2x = -a[/tex]
За да имаме четири решения при налични две квадратни уравнения, трябва и двете да имат по две, т.е. всички дискриминанти трябва да са [tex]> 0[/tex] и изначалното модулно уравнение да има решения [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а > 0[/tex], тъй като не съществува модул с отрицателна стойност. Така вече имаме първата допустима стойност за [tex]а[/tex], сега ще си разгледаме дискриминантите и другите интервали от тях.
Първият квадратен тричлен:
[tex]x^2 + 2x - a = 0[/tex]
[tex]D = 4 + 4a > 0[/tex]
[tex]a > -1[/tex]

Вторият:
[tex]x^2 + 2x + a = 0[/tex]
[tex]D = 4 - 4a > 0[/tex]
[tex]a < 1[/tex]

Сега остава да обединиш трите простички неравенства в система (т.е., да сечеш интервалите), от което лесно се вижда че [tex]0 < a < 1 \Leftrightarrow a \in (0; 1)[/tex]

[emil3993]

[tex]x^2 + 2x - a = 0[/tex]
[tex]D = 4 + 4a > 0[/tex]
[tex]a > -1[/tex]

Как стана?
a > -1

[Davids]

Как стана?
a > -1

Имаш [tex]4 + 4a > 0[/tex]
Просто мяташ едната част оттатък знака и делиш на четири
[tex]4a > -4 |:4[/tex]
[tex]a > -1[/tex]

[emil3993]

Как стана?
a > -1

Имаш [tex]4 + 4a > 0[/tex]
Просто мяташ едната част оттатък знака и делиш на четири
[tex]4a > -4 |:4[/tex]
[tex]a > -1[/tex]

А защо не слагаме дискриминантата под корен?

[Davids]

Защото НЕ решаваме урвнението, а просто удовлетворяваме условието, което изисква двете уравнения да имат еднакъв БРОЙ корени. А броят корени зависи от стойността на дискриминантата, която в нашия случай трябва да е положителна при двете уравнения (за да се спази броят)...

[emil3993]

Сега остава да обединиш трите простички неравенства в система

Кое е третото простичко неравенство, аз не го виждам(биквадратното ли, то не е неравенство май)?
И също защо дискриминантата не е [tex]\ge[/tex]0, а само >0?

[Davids]

Сега остава да обединиш трите простички неравенства в система

Кое е третото простичко неравенство, аз не го виждам(биквадратното ли, то не е неравенство май)?
И също защо дискриминантата не е [tex]\ge[/tex]0, а само >0?

Едното (а > 0) идва от това, че модулът трябва да има два варианта на разкриване (т.е. да е положителен). Другите две вече следват от всеки квадратен тричлен, чиято дискриминанта да е > 0, тъй като ще имаме само по едно решение за двата, ако е равна на нула. Затова е и само положителна и така имаме два варианта на разкриване на модула с по две решения => получаваме общо четири решения, което е и същият брой като при второто уравнение.

[emil3993]

Във второто уравнение няма участие на параметъра, така че броят на неговите решения ще е от значение при определянето на стойностите. То е биквадратно, следователно си го решаваш по традиционния начин (ще си го спестя) и достигаш до в случая четирите възможни решения: [tex]x = \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{2}[/tex]
Следователно ни трябват четири решения и на другото уравнение:
[tex]|x^2 + 2x| = a[/tex]
То се свежда до:
[tex]x^2 + 2x = a \cup x^2 + 2x = -a[/tex]
За да имаме четири решения при налични две квадратни уравнения, трябва и двете да имат по две, т.е. всички дискриминанти трябва да са [tex]> 0[/tex] и изначалното модулно уравнение да има решения [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а > 0[/tex], тъй като не съществува модул с отрицателна стойност. Така вече имаме първата допустима стойност за [tex]а[/tex], сега ще си разгледаме дискриминантите и другите интервали от тях.
Първият квадратен тричлен:
[tex]x^2 + 2x - a = 0[/tex]
[tex]D = 4 + 4a > 0[/tex]
[tex]a > -1[/tex]

Вторият:
[tex]x^2 + 2x + a = 0[/tex]
[tex]D = 4 - 4a > 0[/tex]
[tex]a < 1[/tex]

Сега остава да обединиш трите простички неравенства в система (т.е., да сечеш интервалите), от което лесно се вижда че [tex]0 < a < 1 \Leftrightarrow a \in (0; 1)[/tex]

Благодаря, голям да порастеш .