Най-малката стойност на функцията, съдържаща тригонометрия

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е -3
Аз получавам първа производна:f'(x)=-3sinx-4cosx
А след това какво?

[monika_at]

В дадения интервал ( това е първи квадрант, синусът и косинусът са неотрицателни=>първата производна е отрицателна). Това означава, че функцията е намаляваща, т.е. НМС ще се получи за [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].
[tex]f(\frac{\pi}{2})=3cos\frac{\pi}{2}-4sin\frac{\pi}{2}+1=3.0-4.1+1=-3[/tex]

[emil3993]

В дадения интервал ( това е първи квадрант, синусът и косинусът са неотрицателни=>първата производна е отрицателна). Това означава, че функцията е намаляваща, т.е. НМС ще се получи за [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].
[tex]f(\frac{\pi}{2})=3cos\frac{\pi}{2}-4sin\frac{\pi}{2}+1=3.0-4.1+1=-3[/tex]

Благодаря.

[emil3993]

В дадения интервал ( това е първи квадрант, синусът и косинусът са неотрицателни=>първата производна е отрицателна). Това означава, че функцията е намаляваща, т.е. НМС ще се получи за [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex].
[tex]f(\frac{\pi}{2})=3cos\frac{\pi}{2}-4sin\frac{\pi}{2}+1=3.0-4.1+1=-3[/tex]

Благодаря.

А най-голямата е при 0 и е 0 като заместим, нали?

[monika_at]

Да.

[emil3993]

Да.

Чисто практически не ми трябва да намирам първата производна?

[monika_at]

Трябва ти, за да установиш монотонността на функцията. (дали е само монотонна в дадения интервал или има и екстремуми).

[emil3993]

Първата производна е 3sinx+4cosx=0? Какви са и корените? Няма.

[monika_at]

На твоята функция първата производна е: [tex]f'(x)=-3sinx-4cosx[/tex]. Сама по себе си тази първа производна има корени и ако разглеждаме ф-та върху цялата единична окръжност, тя ще има локални екстремуми. В твоя интервал обаче, както писах първата производна е отрицателна и ф-та е изцяло монотонна (намаляваща).

[emil3993]

Благодаря.

[emil3993]

На твоята функция първата производна е: [tex]f'(x)=-3sinx-4cosx[/tex]. Сама по себе си тази първа производна има корени и ако разглеждаме ф-та върху цялата единична окръжност, тя ще има локални екстремуми. В твоя интервал обаче, както писах първата производна е отрицателна и ф-та е изцяло монотонна (намаляваща).

Има локални екстремуми, но не и глобални. Като нямаме глобални екстремуми заместваме с градусите от затворения интервал и виждаме къде е НГС И НМС. По принцип като има затворен интервал чисто практически заместваме, не е нужна първа производна. Е с нея ще е по-лесно, но не е задължителна...

[Nathi123]

Функцията от задачата се разглежда в затворен интервал и съгласно Т на Ваерщрас достига задължително най - голяма и най - малка стойност. Първата производна е нужно да се намери за да се установи поведението на функцията в разглеждания интервал и от там да се направи извод за най-малката стойност.

[emil3993]

Благодаря.