Всички числа в интервала(тригонометричен израз)

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е п/6,п/4

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е п/6,п/4

[Добромир Глухаров]

$sin^22x-sin^2x=\frac{1}{2};\ x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\Rightarrow sinx>0;\ cosx>0$

$(sin2x-sinx)(sin2x+sinx)=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{2x-x}{2}}cos{\frac{2x+x}{2}}\cdot 2sin{\frac{2x+x}{2}}cos{\frac{2x-x}{2}}=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}\cdot 2sin{\frac{3x}{2}}cos{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{2}$

$sinx.sin3x=\frac{1}{2}$

$sinx=t\Rightarrow sin3x=3t-4t^3$ - използва се формулата $sin3x=3sinx-4sin^3x$

$t(3t-4t^3)=\frac{1}{2}$

$t^2(3-4t^2)=\frac{1}{2}$

$t^2=u$

$u(3-4u)=\frac{1}{2}$

$6u-8u^2=1$

$8u^2-6u+1=0$

$D_1=3^2-8=1$

$u_{1,2}=\frac{3\pm 1}{8}=\frac{1}{2};\ \frac{1}{4}$

$t_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};\ t_{3,4}=\pm\frac{1}{2}$

$sinx=t>0\Rightarrow sinx=\frac{\sqrt{2}}{2};\ sinx=\frac{1}{2}$

$x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi$

$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$

$\Rightarrow x_1=\frac{\pi}{4};\ x_2=\frac{\pi}{6}$

[emil3993]

$sin^22x-sin^2x=\frac{1}{2};\ x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\Rightarrow sinx>0;\ cosx>0$

$(sin2x-sinx)(sin2x+sinx)=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{2x-x}{2}}cos{\frac{2x+x}{2}}\cdot 2sin{\frac{2x+x}{2}}cos{\frac{2x-x}{2}}=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}\cdot 2sin{\frac{3x}{2}}cos{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{2}$

$sinx.sin3x=\frac{1}{2}$

$sinx=t\Rightarrow sin3x=3t-4t^3$ - използва се формулата $sin3x=3sinx-4sin^3x$

$t(3t-4t^3)=\frac{1}{2}$

$t^2(3-4t^2)=\frac{1}{2}$

$t^2=u$

$u(3-4u)=\frac{1}{2}$

$6u-8u^2=1$

$8u^2-6u+1=0$

$D_1=3^2-8=1$

$u_{1,2}=\frac{3\pm 1}{8}=\frac{1}{2};\ \frac{1}{4}$

$t_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};\ t_{3,4}=\pm\frac{1}{2}$

$sinx=t>0\Rightarrow sinx=\frac{\sqrt{2}}{2};\ sinx=\frac{1}{2}$

$x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi$

$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$

$\Rightarrow x_1=\frac{\pi}{4};\ x_2=\frac{\pi}{6}$

Благодаря много.

[emil3993]

$sin^22x-sin^2x=\frac{1}{2};\ x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\Rightarrow sinx>0;\ cosx>0$

$(sin2x-sinx)(sin2x+sinx)=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{2x-x}{2}}cos{\frac{2x+x}{2}}\cdot 2sin{\frac{2x+x}{2}}cos{\frac{2x-x}{2}}=\frac{1}{2}$

$2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}\cdot 2sin{\frac{3x}{2}}cos{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{2}$

$sinx.sin3x=\frac{1}{2}$

$sinx=t\Rightarrow sin3x=3t-4t^3$ - използва се формулата $sin3x=3sinx-4sin^3x$

$t(3t-4t^3)=\frac{1}{2}$

$t^2(3-4t^2)=\frac{1}{2}$

$t^2=u$

$u(3-4u)=\frac{1}{2}$

$6u-8u^2=1$

$8u^2-6u+1=0$

$D_1=3^2-8=1$

$u_{1,2}=\frac{3\pm 1}{8}=\frac{1}{2};\ \frac{1}{4}$

$t_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};\ t_{3,4}=\pm\frac{1}{2}$

$sinx=t>0\Rightarrow sinx=\frac{\sqrt{2}}{2};\ sinx=\frac{1}{2}$

$x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi$

$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$

$\Rightarrow x_1=\frac{\pi}{4};\ x_2=\frac{\pi}{6}$

Откъде дойде [tex]sinx=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi[/tex] ?

[Добромир Глухаров]

Откъде дойде [tex]x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi[/tex] ?

Това са кратките записи за:

$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\cup x=-\frac{\pi}{4}+(2n+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{4}+2n\pi=\frac{3\pi}{4}+2n\pi;$

$x=\frac{\pi}{6}+2m\pi\cup x=-\frac{\pi}{6}+(2l+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi.$

Така получаваме всички решения на $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и на $sinx=\frac{1}{2}$.

[emil3993]

Откъде дойде [tex]x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi[/tex] ?

Това са кратките записи за:

$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\cup x=-\frac{\pi}{4}+(2n+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{4}+2n\pi=\frac{3\pi}{4}+2n\pi;$

$x=\frac{\pi}{6}+2m\pi\cup x=-\frac{\pi}{6}+(2l+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi.$

Така получаваме всички решения на $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и на $sinx=\frac{1}{2}$.

Благодаря.

[emil3993]

Откъде дойде [tex]x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+n\pi;\ x=(-1)^l\cdot\frac{\pi}{6}+l\pi[/tex] ?

Това са кратките записи за:

$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\cup x=-\frac{\pi}{4}+(2n+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{4}+2n\pi=\frac{3\pi}{4}+2n\pi;$

$x=\frac{\pi}{6}+2m\pi\cup x=-\frac{\pi}{6}+(2l+1)\pi=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi.$

Така получаваме всички решения на $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и на $sinx=\frac{1}{2}$.

Пак не разбирам откъде се взимат тези неща?

[Добромир Глухаров]

$sinx$ е ординатата на точката, в която крайното рамо на ъгъла $x$ пресича тригонометричната окръжност:

sinx.png (38.69 KiB) Прегледано 235 пъти

Значи ако $sinx=\frac{1}{2}$, то $x=\frac{\pi}{6}$ или $x=\frac{5\pi}{6}$. Остава да прибавим към всеки отговор число, кратно на периода на тригонометричната функция синус, който е $2\pi$ - съответно прибавяме $2k\pi$, $k$ е положително или отрицателно цяло число, или $0$.

Забележка: На $180^\circ$ отговарят $\pi$ радиана, съответно на $30^\circ$ отговарят $\frac{\pi}{6}$ радиана, а на $150^\circ$ отговарят $\frac{5\pi}{6}$ радиана. Решенията на тригонометричните уравнения се дават в радиани.

[emil3993]

$sinx$ е ординатата на точката, в която крайното рамо на ъгъла $x$ пресича тригонометричната окръжност:

sinx.png

Значи ако $sinx=\frac{1}{2}$, то $x=\frac{\pi}{6}$ или $x=\frac{5\pi}{6}$. Остава да прибавим към всеки отговор число, кратно на периода на тригонометричната функция синус, който е $2\pi$ - съответно прибавяме $2k\pi$, $k$ е положително или отрицателно цяло число, или $0$.

Забележка: На $180^\circ$ отговарят $\pi$ радиана, съответно на $30^\circ$ отговарят $\frac{\pi}{6}$ радиана, а на $150^\circ$ отговарят $\frac{5\pi}{6}$ радиана. Решенията на тригонометричните уравнения се дават в радиани.

Благодаря.

[emil3993]

Има ли друг начин за решаването на задачата?

[Добромир Глухаров]

$sin^22x-sin^2x=\frac{1}{2}$

$(2sinxcosx)^2-sin^2x=\frac{1}{2}$

$sin^2x(4cos^2x-1)=\frac{1}{2}$

$sin^2x(4-4sin^2x-1)=\frac{1}{2}$

$sin^2x(3-4sin^2x)=\frac{1}{2}$

$sinx=t$

$t^2(3-4t^2)=\frac{1}{2}$

И нататък е същото.

[emil3993]

Благодаря.