Стойностите на реалния параметър k , за които уравнението

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е k e (-2;3)

[KOPMOPAH]

Тъй като коефициентът пред $x^2$ е положителен (значи параболата има минимум), в интервала между корените $x_1$ и $x_2$ функцията $f(x)$ приема отрицателни стойности. В частност за $x=2$ имаме $f(2)=2^2-(k+1).2+k^2+k-8<0$, $k^2-k-6<0$. Като се реши неравенството се получава търсеният интервал за $k$.

[Davids]

Тъй като коефициентът пред $x^2$ е положителен (значи параболата има минимум), в интервала между корените $x_1$ и $x_2$ функцията $f(x)$ приема отрицателни стойности. В частност за $x=2$ имаме $f(2)=2^2-(k+1).2+k^2+k-8<0$, $k^2-k-6<0$. Като се реши неравенството се получава търсеният интервал за $k$.

Искам само да попитам чисто теоретически: това, че ще имаме отрицателни стойности за [tex]x = 2[/tex] (с което е изпълнено второто условие за стойностите на корените), доказва ли автоматично, че двата корена съществуват или все пак трябва да включим условието [tex]D > 0[/tex]? В случая ще се получи [tex]k \in (\frac{11}{3}; 3)[/tex], и стойностите съвпадат, но все пак не можах да си обясня дали е нужно или се подразбира от казаното от теб. (Аз лично бих го включил за сигурност )

[Nathi123]

Нека f(x) = a[tex]x^{2}+bx+c[/tex], ако a[tex]f(\alpha) <0 \Rightarrow D>0[/tex]. Да допуснем D<0 [tex]\Rightarrow за \forall \alpha, f(\alpha)[/tex] има знака на а [tex]\Rightarrow af(\alpha) >0[/tex] - противоречие с условието a[tex]f(\alpha) <0,[/tex]ако D=0 [tex]\Rightarrow af(\alpha)=a^{2}(x-x_{1 })^{2}\ge 0[/tex] - противоречие с усл. Така,че от a[tex]f(\alpha) <0 \Rightarrow D>0[/tex]!

[KOPMOPAH]

Davids, аз разбирам от условието, че СЪЩЕСТВУВАТ корени, и то два, за да е изпълнено строгото неравенство $x_1<2<x_2$. Прав си, че не пречи да се провери кога дискриминантата е положителна, може някой много заядлив проверяващ да отнеме точка за липсата на подобна проверка.

[drago]

Възможно е някой много, много заядлив проверяващ да отнеме точки, но трябва да е много, много прост.
Нама как коефициента пред $x^2$ да е положителен, $f(a)<0$ за някое $a$ и $ f(x)$ да няма два различни реални корена, т.е дискриминантата няма как да е нула или отрицателна при това положение. Ами гледайте на нещата по-геометрично, преставяйте си графиките, това също е строго, не робувайте на щампи.

[emil3993]

Тъй като коефициентът пред $x^2$ е положителен (значи параболата има минимум), в интервала между корените $x_1$ и $x_2$ функцията $f(x)$ приема отрицателни стойности. В частност за $x=2$ имаме $f(2)=2^2-(k+1).2+k^2+k-8<0$, $k^2-k-6<0$. Като се реши неравенството се получава търсеният интервал за $k$.

Благодаря.