Уравнение с параметър -_*

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден. Отговорът е x e (0;1/8)

[Добромир Глухаров]

$x+1=u$

$2au^2-|u|+1=0$

$u=0\Rightarrow 1=0\Rightarrow u\neq0$

$\begin{array}{|l}u>0\\2au^2-u+1=0\end{array}\cup\begin{array}{|l}u<0\\2au^2+u+1=0\end{array}$

$D=(\pm1)^2-4.2a.1=1-8a$

$u_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}>0\cup u_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}<0$

$a<0\Rightarrow u_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$a<0\Rightarrow u_4=\frac{-1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$u_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0\Rightarrow 1>\sqrt{1-8a}\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

$u_3=\frac{-1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0\Rightarrow \sqrt{1-8a}<1\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

Окончателно $a\in\left(0;\frac{1}{8}\right)$

[emil3993]

$x+1=u$

$2au^2-|u|+1=0$

$u=0\Rightarrow 1=0\Rightarrow u\neq0$

$\begin{array}{|l}u>0\\2au^2-u+1=0\end{array}\cup\begin{array}{|l}u<0\\2au^2+u+1=0\end{array}$

$D=(\pm1)^2-4.2a.1=1-8a$

$u_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}>0\cup u_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}<0$

$a<0\Rightarrow u_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$a<0\Rightarrow u_4=\frac{-1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$u_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0\Rightarrow 1>\sqrt{1-8a}\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

$u_3=\frac{-1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0\Rightarrow \sqrt{1-8a}<1\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

Окончателно $a\in\left(0;\frac{1}{8}\right)$

Благодаря.

[emil3993]

$x+1=u$

$2au^2-|u|+1=0$

$u=0\Rightarrow 1=0\Rightarrow u\neq0$

$\begin{array}{|l}u>0\\2au^2-u+1=0\end{array}\cup\begin{array}{|l}u<0\\2au^2+u+1=0\end{array}$

$D=(\pm1)^2-4.2a.1=1-8a$

$u_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}>0\cup u_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-8a}}{4a}<0$

$a<0\Rightarrow u_1=\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$a<0\Rightarrow u_4=\frac{-1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0$ - противоречие $\Rightarrow a>0$

$u_2=\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}>0\Rightarrow 1>\sqrt{1-8a}\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

$u_3=\frac{-1+\sqrt{1-8a}}{4a}<0\Rightarrow \sqrt{1-8a}<1\Rightarrow a>0\cap a<\frac{1}{8}$

Окончателно $a\in\left(0;\frac{1}{8}\right)$

Може ли да бъде решена по друг начин?

[Anubis]

Полагаме [tex]|x+1|=u \ge 0[/tex], защото [tex](x+1)^2 = |x+1|^2[/tex]. Достигаме до уравнението

[tex]2au^2-u+1=0[/tex] и искаме то да има два различни положителни корена. Това ще е така, ако

[tex]\begin{array}{|l} u_{1}+u_{2}>0 \\ u_{1}u_{2}>0 \\ D>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ 1-8a>0 \end{array} \Rightarrow a \in \left ( 0; \, \frac{1}{8} \right )[/tex].

[emil3993]

Полагаме [tex]|x+1|=u \ge 0[/tex], защото [tex](x+1)^2 = |x+1|^2[/tex]. Достигаме до уравнението

[tex]2au^2-u+1=0[/tex] и искаме то да има два различни положителни корена. Това ще е така, ако

[tex]\begin{array}{|l} u_{1}+u_{2}>0 \\ u_{1}u_{2}>0 \\ D>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ 1-8a>0 \end{array} \Rightarrow a \in \left ( 0; \, \frac{1}{8} \right )[/tex].

не мога да скрия, че този отговор ми напълни сърцето, благодаря много!!! доста професионално