Равнобедрен триъгълник с вписана и описана окръжност

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

chertej.png (30.95 KiB) Прегледано 11214 пъти

Ще направя следната система (означенията са на чертежа):
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = h(25-h) \\ x^2 + h^2 = 20^2 \end{array}[/tex]
Първото уравнение се получава от метричната зависимост на пресечените отсечки в окръжността (знаем диаметъра), а второто - от питагорова теорема за [tex]\Delta HBC[/tex].
Заместваме от първото във второто и получаваме:
[tex]h(25-h) + h^2 = 400[/tex]
[tex]25h = 400[/tex]
[tex]h = 16[/tex]

Връщаме се на първото и намираме: [tex]x = \sqrt{h(25-h)} = \sqrt{16.9} = 4.3 = 12cm[/tex]
Следователно страната [tex]a = 24cm[/tex]

И използваме двете формули за лице по радиусите и страните, за да намерим радиуса на вписаната:
[tex]S = \frac{ab^2}{4R} = pr[/tex]
[tex]S = \frac{ab^2}{4R} = \frac{24.20.20}{2.25} = 192cm^2[/tex]
[tex]\Rightarrow pr = 192[/tex]
Но [tex]p = \frac{24+20+20}{2} = 32cm[/tex]
[tex]\Rightarrow 32r = 192[/tex]
[tex]r = 6cm[/tex]

[emil3993]

Как получаваме [tex]x^2 = h(25-h)[/tex] ?
И за това ли правило става дума:
OM||PQ
За това ли правило става дума:AM.MB=CM.MD=PM^2
?

[Davids]

Как получаваме [tex]x^2 = h(25-h)[/tex] ?
И за това ли правило става дума:
OM||PQ
За това ли правило става дума:AM.MB=CM.MD=PM^2
?

Ако приемем, че A, B, C, D лежат на окръжността и [tex]ABxCD=M[/tex], то да, това е правилото. Две пресичащи се хорди в окръжност.

[emil3993]

Как получаваме [tex]x^2 = h(25-h)[/tex] ?
И за това ли правило става дума:
OM||PQ
За това ли правило става дума:AM.MB=CM.MD=PM^2
?

Ако приемем, че A, B, C, D лежат на окръжността и [tex]ABxCD=M[/tex], то да, това е правилото. Две пресичащи се хорди в окръжност.

Защо се получава h(25-h)?

[Davids]

Защо се получава h(25-h)?

На чертежа го няма, но мислено си продължи височината докато пресече окръжността и вече имаш диаметър. И реално в пресечната точка с АВ той се разделя на [tex]h[/tex] и (за другата част остава) [tex]25-h[/tex]

[emil3993]

chertej.png

Ще направя следната система (означенията са на чертежа):
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = h(25-h) \\ x^2 + h^2 = 20^2 \end{array}[/tex]
Първото уравнение се получава от метричната зависимост на пресечените отсечки в окръжността (знаем диаметъра), а второто - от питагорова теорема за [tex]\Delta HBC[/tex].
Заместваме от първото във второто и получаваме:
[tex]h(25-h) + h^2 = 400[/tex]
[tex]25h = 400[/tex]
[tex]h = 16[/tex]

Връщаме се на първото и намираме: [tex]x = \sqrt{h(25-h)} = \sqrt{16.9} = 4.3 = 12cm[/tex]
Следователно страната [tex]a = 24cm[/tex]

И използваме двете формули за лице по радиусите и страните, за да намерим радиуса на вписаната:
[tex]S = \frac{ab^2}{4R} = pr[/tex]
[tex]S = \frac{ab^2}{4R} = \frac{24.20.20}{2.25} = 192cm^2[/tex]
[tex]\Rightarrow pr = 192[/tex]
Но [tex]p = \frac{24+20+20}{2} = 32cm[/tex]
[tex]\Rightarrow 32r = 192[/tex]
[tex]r = 6cm[/tex]

Благодаря.