Лицето на куб

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Знаем, че диагоналът на куб е равен на [tex]d = \sqrt{3}a[/tex], където [tex]а[/tex] е ръба (страната на основата) (доказва се по питагорова теорема)
Е, лесно се вижда в нашия случай, че [tex]a = 3[/tex]
И лицето на пълната повърхнина представлява сбора от лицата на шестте еднакви куба, т.е.: [tex]S = 6a^2 = 6.9 = 54cm^2[/tex]

[emil3993]

Знаем, че диагоналът на куб е равен на [tex]d = \sqrt{3}a[/tex], където [tex]а[/tex] е ръба (страната на основата) (доказва се по питагорова теорема)
Е, лесно се вижда в нашия случай, че [tex]a = 3[/tex]
И лицето на пълната повърхнина представлява сбора от лицата на шестте еднакви куба, т.е.: [tex]S = 6a^2 = 6.9 = 54cm^2[/tex]

Може ли чертеж и доказателството, че диагоналът е [tex]d = \sqrt{3}a[/tex], не мога да си го представя.

[Davids]

Може ли чертеж и доказателството, че диагоналът е [tex]d = \sqrt{3}a[/tex], не мога да си го представя.

Представяш си диагонала разположен триизмерно в куба, нали? На телефон съм и не мога да кача чертеж. Та, реално този диагонал образува с един околен ръб (до чийто край се допира) и диагонала на основата под себе си правоъгълен триъгълник. Диагоналът е хипотенуза, а казахме, че катетите са едим ръб и един диагонал на същия квадрат. Ръбът (страната на квадрата) си е равен на [tex]а[/tex], а диагоналът в квадрат е равен на [tex]\sqrt{2}a[/tex].
Следователно по питагорова теорема за въпросния правоъгълен троъгълник с участие на диагонала получаваме: [tex]d^2 = a^2 + 2a^2[/tex]
Вече би трябвало да се ориентираш.

[emil3993]

Може ли чертеж и доказателството, че диагоналът е [tex]d = \sqrt{3}a[/tex], не мога да си го представя.

Представяш си диагонала разположен триизмерно в куба, нали? На телефон съм и не мога да кача чертеж. Та, реално този диагонал образува с един околен ръб (до чийто край се допира) и диагонала на основата под себе си правоъгълен триъгълник. Диагоналът е хипотенуза, а казахме, че катетите са едим ръб и един диагонал на същия квадрат. Ръбът (страната на квадрата) си е равен на [tex]а[/tex], а диагоналът в квадрат е равен на [tex]\sqrt{2}a[/tex].
Следователно по питагорова теорема за въпросния правоъгълен троъгълник с участие на диагонала получаваме: [tex]d^2 = a^2 + 2a^2[/tex]
Вече би трябвало да се ориентираш.

Може ли чертеж, пак не успях да си го представя.

[Davids]

Може ли чертеж, пак не успях да си го представя.

cube_diagonal.png (15.35 KiB) Прегледано 1630 пъти

Първо намираме диагонала на [tex]ABCD[/tex] (важи за всеки квадрат) по питагорова теорема за [tex]BCD[/tex] и получаваме [tex]BD = \sqrt{2}.a[/tex]
Оттам вече ползваме триъгълник [tex]\Delta BDH[/tex] и правим питагорова теорема (това, за което говорих горе).
И диагонала [tex]d^2 = a^2 + (\sqrt{2}.a)^2 = 3a^2 \Leftrightarrow d = \sqrt{3}.a[/tex]

[emil3993]

Може ли чертеж, пак не успях да си го представя.

cube_diagonal.png

Първо намираме диагонала на [tex]ABCD[/tex] (важи за всеки квадрат) по питагорова теорема за [tex]BCD[/tex] и получаваме [tex]BD = \sqrt{2}.a[/tex]
Оттам вече ползваме триъгълник [tex]\Delta BDH[/tex] и правим питагорова теорема (това, за което говорих горе).
И диагонала [tex]d^2 = a^2 + (\sqrt{2}.a)^2 = 3a^2 \Leftrightarrow d = \sqrt{3}.a[/tex]

Изключително много благодаря.