Триъгълна пирамида с основа равностранен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Не мога да предоставя чертеж сега, но след като [tex]MA[/tex] е перпендикулярна на основата, то значи съвпада с височината. И всъщност, [tex]\Delta MAB[/tex] e правоъгълен триъгълник с [tex]\angle ABM = 30^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow MA = \frac{АB}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow h = 2\sqrt{3}[/tex]
За лицето на равностранен триъгълник знаем, че [tex]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}[/tex]
И обема е [tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{9\sqrt{3}.2\sqrt{3}}{3} = 18cm^3[/tex]
Всъщност няма как [tex]9\sqrt{3}[/tex] да е обема на пирамидата, тъй като това чисто и просто е равно на лицето на основата (равностранен триъгълник със страна 6)...
При така зададеното условие, следва AB да е страната срещу ъгъл 60 градуса, което води до стойността на височината. Не знам, проверявах го, но съм почти убеден, че това е отговора (освен ако не правя някоя много очевадна грешка някъде ).

[Добромир Глухаров]

Триъгълна пирамида.png (9.73 KiB) Прегледано 999 пъти

$(AMN)\bot BC$

$BN=NC$

[Davids]

Taка, като за начало може да се абстрахираш от първия ми пост, който е голяма глупост...
Сега ще се реванширам (благодарности на г-н Глухаров за просветлението ).
Ще означим височината на основата (AN) с [tex]h'[/tex]. Следователно, за равностранната основа, [tex]h' = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}[/tex]
Означаваме [tex]MA = h[/tex] и тъй като [tex]\angle ANM = 30^\circ[/tex], то [tex]MN = 2h[/tex]
И правим питагорова теорема за [tex]\Delta ANM[/tex]:
[tex]4h^2 = h^2 + 9.3[/tex]
[tex]3h^2 = 27[/tex]
[tex]h^2 = 9[/tex]
[tex]h = 3cm[/tex]

Лицето на равностранната основа е [tex]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}cm^2[/tex]

И обема на пирамидата е [tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{9\sqrt{3}.3}{3} = 9\sqrt{3}cm^3[/tex]

[emil3993]

Taка, като за начало може да се абстрахираш от първия ми пост, който е голяма глупост...
Сега ще се реванширам (благодарности на г-н Глухаров за просветлението ).
Ще означим височината на основата (AN) с [tex]h'[/tex]. Следователно, за равностранната основа, [tex]h' = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}[/tex]
Означаваме [tex]MA = h[/tex] и тъй като [tex]\angle ANM = 30^\circ[/tex], то [tex]MN = 2h[/tex]
И правим питагорова теорема за [tex]\Delta ANM[/tex]:
[tex]4h^2 = h^2 + 9.3[/tex]
[tex]3h^2 = 27[/tex]
[tex]h^2 = 9[/tex]
[tex]h = 3cm[/tex]

Лицето на равностранната основа е [tex]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}cm^2[/tex]

И обема на пирамидата е [tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{9\sqrt{3}.3}{3} = 9\sqrt{3}cm^3[/tex]

Защо [tex]h' = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}[/tex]?

[Davids]

Защото това е универсалния вид за стойността на височината в равностранен триъгълник. Извежда се по питагорова теорема: пускаш коя да е височина, тя ще раздели страната на две равни части. И правиш питсгорова теорема за правоъгълния триъгълник, чиято хипотенуза става страната ([tex]а[/tex]), единият му катет е [tex]\frac{a}{2}[/tex], а вторият е [tex]h[/tex]. Тоест:
[tex]a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
И оттам вече заместваш в нашия случай със страната [tex]а = 6[/tex]

[emil3993]

Защото това е универсалния вид за стойността на височината в равностранен триъгълник. Извежда се по питагорова теорема: пускаш коя да е височина, тя ще раздели страната на две равни части. И правиш питсгорова теорема за правоъгълния триъгълник, чиято хипотенуза става страната ([tex]а[/tex]), единият му катет е [tex]\frac{a}{2}[/tex], а вторият е [tex]h[/tex]. Тоест:
[tex]a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
И оттам вече заместваш в нашия случай със страната [tex]а = 6[/tex]

В триъгълник ANB страната NAB=30, защо има успоредност ли някъде?

[Davids]

NAB не е страна, а ъгъл, и е тридесет градуса понеже височината в равностранен триъгълник е и ъглополовяща и разделя ъгъла от 60 на две части по 30 градуса...

[emil3993]

Благодаря много.

[emil3993]

Taка, като за начало може да се абстрахираш от първия ми пост, който е голяма глупост...
Сега ще се реванширам (благодарности на г-н Глухаров за просветлението ).
Ще означим височината на основата (AN) с [tex]h'[/tex]. Следователно, за равностранната основа, [tex]h' = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}[/tex]
Означаваме [tex]MA = h[/tex] и тъй като [tex]\angle ANM = 30^\circ[/tex], то [tex]MN = 2h[/tex]
И правим питагорова теорема за [tex]\Delta ANM[/tex]:
[tex]4h^2 = h^2 + 9.3[/tex]
[tex]3h^2 = 27[/tex]
[tex]h^2 = 9[/tex]
[tex]h = 3cm[/tex]

Лицето на равностранната основа е [tex]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}cm^2[/tex]

И обема на пирамидата е [tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{9\sqrt{3}.3}{3} = 9\sqrt{3}cm^3[/tex]

Защо MN=2h?

[Davids]

Защото AM=h е страна срещу ъгъл 30° в правоъгълния триъгълник AMN, на който MN е хипотенуза.

[emil3993]

Защото AM=h е страна срещу ъгъл 30° в правоъгълния триъгълник AMN, на който MN е хипотенуза.

Защо AMN е правоъгълнен триъгълник ?

[Davids]

Дадено ти е по условие, че MA е перпендикулярна на основата... Какво повече?

[emil3993]

Дадено ти е по условие, че MA е перпендикулярна на основата... Какво повече?

Не ли е AMC=90?

[Davids]

МА е перпендикулярна на основата, следователно правият ъгъл е долу и се сключва с цялата равнина. Т.е. [tex]\angle MAC = \angle MAN = \angle MAB = 90^{^\circ}[/tex]

[emil3993]

МА е перпендикулярна на основата, следователно правият ъгъл е долу и се сключва с цялата равнина. Т.е. [tex]\angle MAC = \angle MAN = \angle MAB = 90^{^\circ}[/tex]

Благодаря.