Трапец2

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

trapec_interesna.png (23.13 KiB) Прегледано 218 пъти

Всички точки съм означил на чертежа, сега ще опиша последователността.
Първо ще изразим, че [tex]PE = 4 = \frac{a+b}{2} \Rightarrow b = 8-a[/tex]

Започваме да строим: пресечната точка на разстоянието между средите и средната отсечка ще кръстим Н.
Разстоянието между средите и средната отсечка се разполовяват (винаги - доказва се с диагоналите, като се построява PKEM, което ще се получи успоредник поради успоредността на страните 2х2 към един диагонал. Оттам двете отсечки ще излязат диагонали на успоредник -> се разполовяват взаимно).

Построяваме правата [tex]DH[/tex], пресичаща AB в [tex]т. J[/tex]
Тъй като [tex]PH || AJ[/tex] по условие [tex]\Rightarrow AJ = 2PH = 4[/tex].
Следователно като построим [tex]AJEP[/tex] ще е успоредник.
[tex]\Rightarrow JE || AP \Rightarrow JB = a-4[/tex] и [tex]\angle BJE = \angle JAP = 20\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle JEB = 90\circ[/tex] (1)

Построяваме [tex]\Delta DJC[/tex], в който [tex]HM[/tex] е средна отсечка.
[tex]\Rightarrow KM || JC \Rightarrow KJCM[/tex] - успоредник [tex]\Rightarrow JC = KM = 2[/tex]

Сега разглеждаме [tex]\Delta JCB[/tex], в който [tex]JE[/tex] е хем височина, хем медиана.
Следователно триъгълникът е равнобедрен и [tex]JB = a-4 = 2[/tex]

Оттам [tex]a = 6[/tex] и [tex]b = 8-a = 2cm[/tex]

Би следвало да има и някое по-елементарно решение, доказващо, че JBCD е успоредник или нещо такова, но мен ме изби така и първо за това се сетих

[emil3993]

trapec_interesna.png

Всички точки съм означил на чертежа, сега ще опиша последователността.
Първо ще изразим, че [tex]PE = 4 = \frac{a+b}{2} \Rightarrow b = 8-a[/tex]

Започваме да строим: пресечната точка на разстоянието между средите и средната отсечка ще кръстим Н.
Разстоянието между средите и средната отсечка се разполовяват (винаги - доказва се с диагоналите, като се построява PKEM, което ще се получи успоредник поради успоредността на страните 2х2 към един диагонал. Оттам двете отсечки ще излязат диагонали на успоредник -> се разполовяват взаимно).

Построяваме правата [tex]DH[/tex], пресичаща AB в [tex]т. J[/tex]
Тъй като [tex]PH || AJ[/tex] по условие [tex]\Rightarrow AJ = 2PH = 4[/tex].
Следователно като построим [tex]AJEP[/tex] ще е успоредник.
[tex]\Rightarrow JE || AP \Rightarrow JB = a-4[/tex] и [tex]\angle BJE = \angle JAP = 20\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle JEB = 90\circ[/tex] (1)

Построяваме [tex]\Delta DJC[/tex], в който [tex]HM[/tex] е средна отсечка.
[tex]\Rightarrow KM || JC \Rightarrow KJCM[/tex] - успоредник [tex]\Rightarrow JC = KM = 2[/tex]

Сега разглеждаме [tex]\Delta JCB[/tex], в който [tex]JE[/tex] е хем височина, хем медиана.
Следователно триъгълникът е равнобедрен и [tex]JB = a-4 = 2[/tex]

Оттам [tex]a = 6[/tex] и [tex]b = 8-a = 2cm[/tex]

Би следвало да има и някое по-елементарно решение, доказващо, че JBCD е успоредник или нещо такова, но мен ме изби така и първо за това се сетих

"a" не е по-малката основа на чертежа ти, а "b", не ли е така?

[Davids]

Ами да де, нали а = 6, а b = 2? Не разбрах въпроса. Стандартни означения, има ги на чертежа.

[emil3993]

DHCK-квадрат=>b=?=2см

[Davids]

Защо реши, че е равнобедрен? Защо реши, че фигурата е квадрат? Представил съм (малко сложно) решение с произволен трапец. Ако нещо не е ясно, питай.

[emil3993]

разстоянието между средите на двете основи=2=(a-b)/2
a-b=4
a=4+b
средна отсечка=4=(a+b)/2
a+b=8
a=8-b
[tex]\begin{array}{|l} a=4+b \\ a=8-b \end{array}[/tex]
4+b=8-b
2b=8-4
2b=4
b=2

[Davids]

Но трапецът не е равнобедрен, разбираш ли?

[emil3993]

(a+b)/2 и (a-b)/2 са основни положения при неравнобедрен трапец!!!

[Davids]

(a+b)/2 и (a-b)/2 са основни положения при неравнобедрен трапец!!!

Не знам откъде реши, че разстоянието между средите на двете основи може да се изчисли по този начин... Но се замисли чисто и просто, че тези две основи, дори и да запазят дължината си, можем да ги сложим на безкрайно голямо разстояние една от друга (т.е. да увеличим височината) и фигурата да остане трапец, но разстоянието между средите им далеч няма да се запази същото... В случая може да си получил отговора случайно, тъй като 4, 2 и 6 не са много особени числа и е лесно да следват привидно равни неща по всякакви начини, но в случая си в грешка. Не се заяждам, но го обмисли преди да го качваш

[emil3993]

Ето ти го:

[Davids]

Супер е, само че важи в частния случай, не изобщо. Изразявай се коректно. А и можеше да покажеш каква ти е идеята, като го прилагаше, с лекото уточнение, че е в сила за този случай, а не по принцип. Иначе решението е супер така.

[emil3993]

Благодаря все пак.